求解13+33+53+…+993=?1的3次方+3的3次方+5的三次方,一直加到99的三次方,是多少?

求解13+33+53+…+993=?1的3次方+3的3次方+5的三次方,一直加到99的三次方,是多少?
求解13+33+53+…+993=?
1的3次方+3的3次方+5的三次方,一直加到99的三次方,是多少?

求解13+33+53+…+993=?1的3次方+3的3次方+5的三次方,一直加到99的三次方,是多少?
1^3+3^3+5^3+...+(2n+1)^3=(n+1)^2(2n^2+4n+1)
这个公式可以利用数学归纳法证明：
n=0时,1^3=(0+1)^2*(0+0+1),成立
设n=k时成立,即1^3+3^3+5^3+...+(2k+1)^3=(k+1)^2(2k^2+4k+1)
则n=k+1时
1^3+3^3+5^3+...+(2k+1)^3+(2k+3)^3
=(k+1)^2(2k^2+4k+1)+(2k+3)^3
=(k+1)^2(2k^2+4k+1)+(2k+3)(4k^2+12k+9)
=(k+1)^2(2k^2+4k+1)+(2k+3)(2k^2+4k+1)+(2k+3)(2k^2+8k+8)
=[(k^2+2k+1)+(2k+3)](2k^2+4k+1)+(2k+3)*2(k^2+4k+4)
=(k+2)^2(2k^2+4k+1)+(4k+6)(k+2)^2
=(k+2)^2(2k^2+8k+7)
=[(k+1)+1][2(k+1)^2+4(k+1)+1]
等式也成立
所以,原式成立
n=49时
1^3+3^3+5^3+...+99^3=(49+1)^2*(2*49^2+4*49+1)=50^2*4999=12497500

13+33+53+…+993
=(1+3+5+...+99)*10+50*3
=25000+150
=25150

1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^2
用这个公式做
偶数可以提出来2

1^3+3^3+5^3+……+n^3
证明：
利用立方差公式：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4...

全部展开

1^3+3^3+5^3+……+n^3
证明：
利用立方差公式：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

收起

首先：1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2，
公式推导：
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1
……
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
相加
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+…...

全部展开

首先：1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2，
公式推导：
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1
……
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
相加
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+……+n^3)+6*(1^2+2^2+……+n^2)+4*(1+2+……+n)+1*n
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2+……+n=n(n+1)/2
代入后整理可得
1^3+2^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
求和：
1+2+3+..+99=4950
1+2+3+..+49=1225
利用上述公式：
1^3+2^3+3^3+4^3+...99^3=4950^2
2^3+4^3+6^3+98^3=8*(1^3+2^3+3^3+...+49^3)=8*1225^2
所以最后结果＝4950^2-8*1225^2

收起

=(10+3)+(30+3)+……+(990+3)
=(10+30+……+990)+(3+3+……+3)
=(10+990)+(30+970)+……+(490+530)+3×99
=1000×49+297
=49297

给你一点提示：第一项是2*1-1的3次方 第二项是2*2-1的3次方 第N项是2*N-1的3次方…