2008年无锡市数学中考的选择题第12道边长为a的正三角形ABC内有一边长为b的内接正三角形DEF,则三角形AEF的内切圆半径为

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2008年无锡市数学中考的选择题第12道
边长为a的正三角形ABC内有一边长为b的内接正三角形DEF,则三角形AEF的内切圆半径为

2008年无锡市数学中考的选择题第12道边长为a的正三角形ABC内有一边长为b的内接正三角形DEF,则三角形AEF的内切圆半径为
边长为b的内接正三角形DEF,内接于边长为a的正三角形ABC
则∠A=∠B=∠EFD=60°,AB=a,EF=DF=b
∠AFE+∠BFD=∠BDF+∠BFD=120°
所以∠AFE=∠BDF
△AFE≌△BDF , 同理可证△AFE≌△CED
所以AE=BF
AF+BF=a
所以AF+AE=a
设三角形AEF的内切圆圆心为O,半径为r
s△AFE
=s△OAF+s△OAE+s△OEF
=AF*r/2+AE*r/2+EF*r/2
=（AF+AE+EF)r/2
=(a+b）r/2
s△ABC=1/2*AB*AC*sin60°=√3a²/4
s△DEF=1/2*DE*DF*sin60°=√3b²/4
因为△AFE≌△BDF≌△CED
所以s△AFE=s△BDF=s△CED
所以3s△AFE+s△DEF=s△ABC
即3*(a+b）r/2+√3b²/4=√3a²/4
3(a+b）r/2=√3a²/4-√3b²/4
3(a+b）r/2=√3（a²-b²）/4
r=√3（a-b）(a+b）/4*2/[3(a+b）]=√3(a-b)/6
三角形AEF的内切圆半径为√3(a-b)/6

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