设数列(an)的前n项和Sn与an的关系是Sn=kan+1,其中k不等于1,若极限Sn=1,求k的取值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 16:07:12
设数列(an)的前n项和Sn与an的关系是Sn=kan+1,其中k不等于1,若极限Sn=1,求k的取值
设数列(an)的前n项和Sn与an的关系是Sn=kan+1,其中k不等于1,若极限Sn=1,求k的取值
设数列(an)的前n项和Sn与an的关系是Sn=kan+1,其中k不等于1,若极限Sn=1,求k的取值
k=0
先求出该数列一般项公式
该数列第一项=s1=k+1
从第二项开始=sn-s（n-1）=k
所以sn=nk+1
由于其极限为1故k只能取0
∵Sn=kan+1 ，∴ Sn-1=ka(n-1)+1 ，∴ an=sn-sn-1=kan-ka(n-1 )
∴ an/an-1=k/(k-1)
∴ an-1/an-2=k/(k-1)
……
a2/a1=k/(k-1)
∴an/a1=(k/(k-1))^(n-1) 即an=a1＊(k/(k-1))^(...
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∵Sn=kan+1 ，∴ Sn-1=ka(n-1)+1 ，∴ an=sn-sn-1=kan-ka(n-1 )
∴ an/an-1=k/(k-1)
∴ an-1/an-2=k/(k-1)
……
a2/a1=k/(k-1)
∴an/a1=(k/(k-1))^(n-1) 即an=a1＊(k/(k-1))^(n-1) (累积法)
又由 s1=ka1+1=a1 得 a1=1/(1-k)
∴ sn=a1+a2+a3+…+an
=a1＊（1+k/(k-1)+（k/(k-1)）^2 +…+（k/(k-1)）^(n-1)）
=1/(1-k) ＊(1-(k/(k-1))^n)/(1-(k/(k-1)))=1-(k/(k-1))^n
又∵Sn的极限为1 ，
∴ (k/(k-1))^n的极限要为0
∴-1＜k/(k-1)＜1
解得k＜1/2
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因为limSn=1 又Sn=kan+1 所以limkan=0 (0)
当n=1时a1=s1=ka1+1 所以 a1=1/1—k (1)
当n>=2时 an=Sn-S（n-1）=kan-ka(n-1) 可得到an=k/k-1a(n-1) (2)
由等比公式 联立（1）（2）an=-k^(n-1)/(k-1)^n
由（0）可得：
limkan=lim[-k^n/(k-1)^n]=0 所以K<1/2
∵Sn=kan+1 ，∴ Sn-1=ka(n-1)+1 ，∴ an=sn-sn-1=kan-ka(n-1 )
∴ an/an-1=k/(k-1)
∴ an-1/an-2=k/(k-1)
……
a2/a1=k/(k-1)
∴an/a1=(k/(k-1))^(n-1) 即an=a1＊(k/(k-1))^(...
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∵Sn=kan+1 ，∴ Sn-1=ka(n-1)+1 ，∴ an=sn-sn-1=kan-ka(n-1 )
∴ an/an-1=k/(k-1)
∴ an-1/an-2=k/(k-1)
……
a2/a1=k/(k-1)
∴an/a1=(k/(k-1))^(n-1) 即an=a1＊(k/(k-1))^(n-1) (累积法)
又由 s1=ka1+1=a1 得 a1=1/(1-k)
∴ sn=a1+a2+a3+…+an
=1/(1-k) ＊(1-(k/(k-1))^n)/(1-(k/(k-1)))=1-(k/(k-1))^n
又∵Sn的极限为1 ，
∴ (k/(k-1))^n的极限要为0
∴-1＜k/(k-1)＜1
k＜1/2
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