已知x1,x2,x3,x4为实数,且x1+x2+x3+x4=6,x1^2+x2^2+x3^2+x4^2=12,求证:0=<xi=&
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/17 06:46:13
已知x1,x2,x3,x4为实数,且x1+x2+x3+x4=6,x1^2+x2^2+x3^2+x4^2=12,求证:0=<xi=&
已知x1,x2,x3,x4为实数,且x1+x2+x3+x4=6,x1^2+x2^2+x3^2+x4^2=12,求证:0=<xi=&
已知x1,x2,x3,x4为实数,且x1+x2+x3+x4=6,x1^2+x2^2+x3^2+x4^2=12,求证:0=<xi=&
x1=6-(x2+x3+x4)
令x2+x3+x4=u
这两式代入第二式得
(6-u)^2+x2^2+x3^2+x4^2=12>=(6-u)^2+u^2/3【下面证明】
解出3<=u<=6
所以0<=x1<=3
同理可得:0<=x2<=3,.0<=xi<=3.(i=1.2.3.4)
注:u^2=(x2+x3+x4)^2=x2^2+x3^2+x4^2+2x2x3+2x3x4+2x2x4<=3(x2^2+x3^2+x4^2)
故x2^2+x3^2+x4^2>=u^2/3
x1+x2+x3=6-x4,两边平方得(x1+x2+x3)^2=(6-x4)^2,而(6-x4)^2=(x1+x2+x3)^2≤3(x1^2+x2^2+x3^2)=3(12-x4^2)
所以4x4^2-12x4≤0,所以0≤x4≤3,同理有0≤x1≤3,0≤x2≤3,0≤x3≤3,所以0≤xi≤3
2x1*x2<=x1^2+x2^2
2x2*x3<=x2^2+x3^2
2x3*x4<=x3^2+x4^2
2x4*x1<=x4^2+x1^2
当且仅当x1=x2=x3=x4时
2*x1*x2*2*x2*x3*2*x3*x4*2*x4*x1=2x1^2+2x2^2+2x3^2+2x4^2
16*x1^8=24
x1=x2=x3=x4=8^√(3/2)
于是xi<=8^√(3/2)
因为x1^2,x2^2,x3^2,x4^2>=0
所以0<=xi<=8^√(3/2)
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