求使关于x的方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0只有整数根的所有整数a.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 14:33:18
求使关于x的方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0只有整数根的所有整数a.
求使关于x的方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0只有整数根的所有整数a.
求使关于x的方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0只有整数根的所有整数a.
a=-1时,方程为：-2x-8=0,得;x=-4,符合
a≠-1时,方程为二次方程,设两根为x1,x2
并记t=a+1, a=t-1
x1+x2=(a^2+1)/(a+1)=[t^2-2t+1+1]/t=(t^2-2t+2)/t=t-2+2/t
因此t需为2的约数,有4种可能：t=1,2, -1, -2
t=1时,a=0,方程为：x^2-x-6=0,根为3, -2,符合
t=2时,a=1, 方程为：2x^2-2x-4=0,根为2,-1,符合
t=-1时,a=-2,方程为：-x^2-5x-22=0,无实根
t=-2时,a=-3,方程为：-2x^2-10x-60=0,无实根
综合得：a=-1,或0,或1.
当a=-1时，原方程化为-2x-2-6=0，此时x=-4；
当a≠-1时，判别式△=（a2+1）2-4（a+1）（2a3-6）=-7a4-8a3+2a2+24a+25，
若a≤-2，则△=-a2（7a2+8a-2）+24（a+1）+1＜24（a+1）+1＜0，方程无根；
若a≥2，则△=-8a（a2-3）-a2（7a2-2）+25＜-a2（7a2-2）+25＜0，方程亦无根...
全部展开
当a=-1时，原方程化为-2x-2-6=0，此时x=-4；
当a≠-1时，判别式△=（a2+1）2-4（a+1）（2a3-6）=-7a4-8a3+2a2+24a+25，
若a≤-2，则△=-a2（7a2+8a-2）+24（a+1）+1＜24（a+1）+1＜0，方程无根；
若a≥2，则△=-8a（a2-3）-a2（7a2-2）+25＜-a2（7a2-2）+25＜0，方程亦无根；
故-2＜a＜2，
又因为a为整数，则a只能取-1，0，1，而a≠-1，则a在0，1中取值：
当a=0时，方程可化为x2-x-6=0，解得x1=3，x2=-2；
当a=1时，方程可化为x2-x-2=0，解得x1=2，x2=-1．
综上所述，关于x的二次方程（a+1）x2-（a2+1）x+2a3-6=0，当a=0，1时，方程有整数根．
收起
∵x1+x2=(a²+1)/(a+1)
x1*x2=(2a³-6)/(a+1)
∴a=0，或a=1 a=-1