求微分方程 y''+3y'=cos2x 的通解.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/22 16:40:11

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求微分方程 y''+3y'=cos2x 的通解.
求微分方程 y''+3y'=cos2x 的通解.

求微分方程 y''+3y'=cos2x 的通解.
这个方程和物理中的受迫振动很像
线性方程的解由“特解+（齐次方程）通解”构成
先求y" + y' = 0的通解
易见通解为y = Ce^(-3x)
再求方程的特解,考虑到受迫振动的解是一个周期解,不妨设特解为
y = Acos2x + Bsin2x
y' = -2Asin2x + 2Bcos2x
y" = -4Acos2x -4Bsin2x
代入方程得A = -1/13,B = 3/26
所有方程的通解为
y = Ce^(-3x) -1/13 * cos2x + 3/26 * sin2x
如果你觉得上面的推导有点“猜”的成份,还不够严格,其实由解的唯一性定理保证了线性方程的解一定是在整个实轴上唯一存在的,所以关键问题只是把它找出来.这里利用了一点物理背景猜出它的形式后,找起来就更方便,如此而已.

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