三棱台,A1B1是A1C和B1C1的公垂线.已知,AB=3cm,A1A=AC=5cm,二面角A1-AB-C为60°求三棱锥A1-ABC的体积若二面角A1-AC-B的大小为θ,求tanθ
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/21 21:09:26
三棱台,A1B1是A1C和B1C1的公垂线.已知,AB=3cm,A1A=AC=5cm,二面角A1-AB-C为60°求三棱锥A1-ABC的体积若二面角A1-AC-B的大小为θ,求tanθ
三棱台,A1B1是A1C和B1C1的公垂线.
已知,AB=3cm,A1A=AC=5cm,二面角A1-AB-C为60°
求三棱锥A1-ABC的体积
若二面角A1-AC-B的大小为θ,求tanθ
三棱台,A1B1是A1C和B1C1的公垂线.已知,AB=3cm,A1A=AC=5cm,二面角A1-AB-C为60°求三棱锥A1-ABC的体积若二面角A1-AC-B的大小为θ,求tanθ
本题如果把三棱锥A1-ABC分离出来,就简单了
∵ A1B1//AB ,A1B1⊥A1C,A1B1⊥B1C1,B1C1//BC
∴ AB⊥A1C,AB⊥BC
∴ AB⊥A1CB平面
三棱锥A1-ABC的体积=三棱锥A-A1BC的体积
据已知条件,可以得到 ；
A1C=5（A1-AB-C二面角就是边长为5的等腰三角形A1AC的顶角,故等边）
,A1B=4,BC=4,AB=3
三角形A1BC是等边三角形,A1C上的高=2√3
S=0.5*(5√3/2)*5=25√3/4
V=AB*S/3=25√3/4
作BD⊥AC,A1E⊥AC
BD=12/5,AD=9/5
A1E=5√3/2,AE=5/2
DE=AE-AD=25/10-18/10=7/10
CE=5/2=25/10
CD=CE+DE=32/10
EP:BD=CE:CD=25/32=CP:BC
EP=(12/5)*(25/32)=15/8
CP=(25/32)*4=25/8
BP=4-25/8=7/8
∵ BC=4,A1B=4,A1C=5
∴ cos∠A1BC=7/32
∴ A1P^2=16-49/64
又,A1P^2=A1E^2+PE^2-2*A1E*PEcosθ
∴ cosθ=√3/4,sinθ=√13/4
tanθ=√39/3