证明等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值（利用点到直线的距离公式）

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 07:16:49
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证明等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值（利用点到直线的距离公式）
以底边BC中点为原点建立坐标系,A(0,√3/2),B(-1/2,0),C(1/2,0),
在三角形内部任一点P(x0,y0),
BC方程为:y=0,
AB方程为:y=√3x+√3/2,
AC方程为:y=-√3x+√3/2,
P至BC距离p1=y0,
P至AC距离p2=|√3x0+y0-√3/2|/2=-(√3x0+y0-√3/2)/2,(考虑到x0,y0代数和绝对值小于高,符号应由√3/2的符号决定,故取负号,可由图中观察得到)
(P至AB距离p3=|√3x0-y0+√3/2|/2=(√3x0-y0+√3/2)/2,
p1+p2+p3=y0-(√3x0+y0-√3/2)/2+(√3x0-y0+√3/2)/2=√3/2.
而|OA|=√3/2,
故等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值为一个边上的高.

分割面积法
设等边三角形边长为a，由此可知三角形的面积为：
√3a^2/4
设三角形内任意一点到三边的距离分别为x、y、z，则面积可表示为：
（x+y+z）*a/2
二者相等，联立
得（x+y+z）=√3a/2

直接用面积证不就得了。。。

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