如图,三角形ABC为等边三角形外的一点,且BD=CD ,角BDC=120度,做角EDF=60度.与两边分别交于点E、F,连接EF.求证EF=BE+CF.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 18:44:54
如图,三角形ABC为等边三角形外的一点,且BD=CD ,角BDC=120度,做角EDF=60度.与两边分别交于点E、F,连接EF.求证EF=BE+CF.
如图,三角形ABC为等边三角形外的一点,且BD=CD ,角BDC=120度,做角EDF=60度.与两边分别
交于点E、F,连接EF.求证EF=BE+CF.
如图,三角形ABC为等边三角形外的一点,且BD=CD ,角BDC=120度,做角EDF=60度.与两边分别交于点E、F,连接EF.求证EF=BE+CF.
证明：
∵BD=CD,∠BDC=120
∴∠CBD=∠BCD=（180º-120º）÷2=30º
∵⊿ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60º
那么∠ABD=∠ACB=60º+30º=90º
延长AC到P,使PC=BE,连接DP
在⊿EBD和⊿PCD中
∵∠EBD=∠PCD=90º,BE=PC,BD=CD
∴⊿EBD≌⊿PCD（SAS）
∴DE =DP,∠BDE=∠CDP
∵∠PDF=∠PDC+∠CDF=∠BDE+∠CDF=∠BDC-∠EDF=120º-60º=60º
∴∠PDF=∠EDF
又∵ED=PD,FD=FD
∴⊿EDF≌⊿PDF（SAS）
∴EF=FP=FC+CP
∵CP=BE
∴EF=FC+BE
⑴由AB＝AC得点A在BC的垂直平分线上
由DB＝DC得点D在BC的垂直平分线上
∴AD垂直平分BC
⑵在AC的延长线上取点G，使CG＝BE，连结DG
∵∠DBE＝90°＝∠DCG，DB＝DC
∴△DBE≌△DCG
∴∠CDG＝∠BDE，DE＝DG
∵∠FDG＝∠FDC＋∠CDG＝∠FDC＋∠BDE＝∠BDC－∠EDF＝60°＝∠EDF
全部展开
⑴由AB＝AC得点A在BC的垂直平分线上
由DB＝DC得点D在BC的垂直平分线上
∴AD垂直平分BC
⑵在AC的延长线上取点G，使CG＝BE，连结DG
∵∠DBE＝90°＝∠DCG，DB＝DC
∴△DBE≌△DCG
∴∠CDG＝∠BDE，DE＝DG
∵∠FDG＝∠FDC＋∠CDG＝∠FDC＋∠BDE＝∠BDC－∠EDF＝60°＝∠EDF
∴△DEF≌△DGF
∴∠DFE＝∠DFG
即DF平分∠EFC
⑶由⑵知：FE＝FG＝FC＋CG＝FC＋BE
∴△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋FC＋BE＝AB＋AC＝2BC
收起
⑴因为AB＝AC
∴点A在BC的垂直平分线上
∵DB＝DC
∴点D在BC的垂直平分线上
∴AD垂直平分BC
⑵在AC的延长线上取点G，使CG＝BE，连结DG
∵∠DBE＝90°＝∠DCG，DB＝DC
∴△DBE≌△DCG（sas）
∴∠CDG＝∠BDE，DE＝DG
∵∠FDG＝∠FDC＋∠CDG＝∠FDC＋∠BDE＝∠BDC－...
全部展开
⑴因为AB＝AC
∴点A在BC的垂直平分线上
∵DB＝DC
∴点D在BC的垂直平分线上
∴AD垂直平分BC
⑵在AC的延长线上取点G，使CG＝BE，连结DG
∵∠DBE＝90°＝∠DCG，DB＝DC
∴△DBE≌△DCG（sas）
∴∠CDG＝∠BDE，DE＝DG
∵∠FDG＝∠FDC＋∠CDG＝∠FDC＋∠BDE＝∠BDC－∠EDF＝60°＝∠EDF
∴△DEF≌△DGF（sas）
∴∠DFE＝∠DFG
即DF平分∠EFC
⑶∵FE＝FG＝FC＋CG＝FC＋BE
∴△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋FC＋BE＝AB＋AC＝2BC
收起