已知 a1 a2 a3...an,b1 b2 b3 bn,p,q满足a1^2+a2^2+...+an^2=p^2,a1b1+a2b2+...+anbn=pq,b1^2+b2^2+...+bn^2=q^2,求证：a1/b1=a2/b2=...=an/bn=p/q=K
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/13 04:30:19
已知 a1 a2 a3...an,b1 b2 b3 bn,p,q满足a1^2+a2^2+...+an^2=p^2,a1b1+a2b2+...+anbn=pq,b1^2+b2^2+...+bn^2=q^2,求证：a1/b1=a2/b2=...=an/bn=p/q=K
已知 a1 a2 a3...an,b1 b2 b3 bn,p,q满足a1^2+a2^2+...+an^2=p^2,a1b1+a2b2+...+anbn=pq,b1^2+b2^2+...
+bn^2=q^2,求证：a1/b1=a2/b2=...=an/bn=p/q=K
已知 a1 a2 a3...an,b1 b2 b3 bn,p,q满足a1^2+a2^2+...+an^2=p^2,a1b1+a2b2+...+anbn=pq,b1^2+b2^2+...+bn^2=q^2,求证：a1/b1=a2/b2=...=an/bn=p/q=K
由柯西不等式的一般式：
（a1^2+a2^2+...+an^2）（b1^2+b2^2+...+bn^2）≥（a1b1+a2b2+...+anbn）^2
（当且仅 a1／b1 = a2／b2 = ...= an／bn 时等号成立）
应用在本题,可得
（a1^2+a2^2+...+an^2）（b1^2+b2^2+...+bn^2）= p^2 x q^2
（a1b1+a2b2+...+anbn）^2 = p^2q^2
恰好是柯西不等式等号成立的情况,因此,a1／b1 = a2／b2 = ...= an／bn .此题得证.
附柯西不等式的一般证明：
数学归纳法
（1）数列｛an＋1－an｝是等差数列a2－a1＝4－6＝－2 vzd幔常幔玻剑常矗剑惫睿剑ǎ幔常幔玻ǎ幔玻幔保剑保玻剑痹颍幔ǎ睿保幔睿剑...
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（1）数列｛an＋1－an｝是等差数列a2－a1＝4－6＝－2 vzd幔常幔玻剑常矗剑惫睿剑ǎ幔常幔玻ǎ幔玻幔保剑保玻剑痹颍幔ǎ睿保幔睿剑玻ǎ睿保保剑睿常幔睿幔ǎ睿保剑睿矗幔常幔玻剑常矗剑保幔玻幔保剑玻矗剑驳樱幔睿幔保剑ǎ玻睿矗ǎ睿保Γ＃矗罚唬玻剑ǎ保Γ＃矗罚唬玻睿蓿玻罚睿Γ＃矗罚唬玻惩ㄏ睿幔睿剑ǎ保Γ＃矗罚唬玻ǎ睿蓿玻罚睿保福樱睿剑玻睿猓睿保啊 。樱ǎ睿保剑玻睿玻猓ǎ睿保保埃猓睿剑猓睿猓ǎ睿保病 。玻猓睿剑猓ǎ睿保玻玻ǎ猓睿玻剑猓ǎ睿保玻猓睿玻枪任ǎ保Γ＃矗罚唬玻┑缺仁性颍猓睿玻剑ǎ猓保玻ǎ保Γ＃矗罚唬玻蓿ǎ睿保剑矗ǎ保Γ＃矗罚唬玻蓿ǎ睿保┩ㄏ睿猓睿剑ǎ保Γ＃矗罚唬玻蓿ǎ睿常玻ǎ玻∩璐嬖冢搿剩危梗幔耄猓搿剩ǎ埃保Γ＃矗罚唬玻┰颍幔耄猓耄剑ǎ保Γ＃矗罚唬玻ǎ耄蓿玻罚耄保福ǎ保Γ＃矗罚唬玻蓿ǎ耄常玻剑ǎ保Γ＃矗罚唬玻ǎ耄蓿玻罚耄保矗ǎ保Γ＃矗罚唬玻蓿ǎ耄常剑ǎ保Γ＃矗罚唬玻郏ǎ耄蓿玻罚耄保矗ǎ保Γ＃矗罚唬玻蓿ǎ耄玻萆瑁妫ǎ剑耄蓿玻罚耄保矗剑ǎ耄罚Γ＃矗罚唬玻蓿玻罚Γ＃矗罚唬次谙蛏系呐孜锵遪km最小值在顶点处f（7＆＃47；2）＝7＆＃47；4由于k取自然数，则f（3）＝f（4）＝2为最小设g（x）＝（1＆＃47；2）＾（k－2）g＆＃39；（x）＝－（1＆＃47；2）＾（k－1）ln2＆lt；0单减 最大值＝g（1）＝2（1＆＃47；2）［f（1）－g（1）］＝（1＆＃47；2）＊（8－2）＝3超出范围（1＆＃47；2）［f（3）－g（3）］＝（1＆＃47；2）＊（2－1＆＃47；2］＝3＆＃47；4超出范围综上：不存在k∈N＊4满足ak－bk∈（0，1＆＃47；2）。
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