已知a,b,c,d为实数且ad-bc=1,求证：a平方+b平方+c平方+d平方+ab+cd不等于1?···········（T—T）····
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 20:52:36
已知a,b,c,d为实数且ad-bc=1,求证：a平方+b平方+c平方+d平方+ab+cd不等于1?···········（T—T）····
已知a,b,c,d为实数且ad-bc=1,求证：a平方+b平方+c平方+d平方+ab+cd不等于1?
···········（T—T）····
已知a,b,c,d为实数且ad-bc=1,求证：a平方+b平方+c平方+d平方+ab+cd不等于1?···········（T—T）····
用反证法.
假设a²+b²+c²+d²+ab+cd = 1.
则(a+b)²+(c+d)²+(a-d)²+(b+c)² = 2(a²+b²+c²+d²+ab+cd)-2(ad-bc) = 0.
由a,b,c,d都为实数,只有a+b = c+d = a-d = b+c = 0.
解得a = b= c = d = 0,与ad-bc = 1矛盾.
故a²+b²+c²+d²+ab+cd ≠ 1 (实际上有a²+b²+c²+d²+ab+cd > 1).
假设a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd=1
由ad-bc=1可得
a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd= ad-bc
2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2ab+2cd-2ad+2bc=0
(a+b)^2+(c+d)^2+(a-d)^2+(b+c)^2=0
则 a+b=0(1)
c+d=0(2)
...
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假设a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd=1
由ad-bc=1可得
a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd= ad-bc
2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2ab+2cd-2ad+2bc=0
(a+b)^2+(c+d)^2+(a-d)^2+(b+c)^2=0
则 a+b=0(1)
c+d=0(2)
a- d=0(3)
b+c=0(4)
则(1)(4)可知a=c(5)
(2)(3)可知a=-c(6)
由(5)(6)可知a=-a可得到a=0
从而c=0,b=0,d=0
ad-bc=0与已知条件矛盾，故a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd不等于1。
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