已知a ,b ,c 为正数,求证 a^2a × b^2b × c^2c ≥a^（b+c） × b^（c+a） × c^（a+b）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 07:02:50
已知a ,b ,c 为正数,求证 a^2a × b^2b × c^2c ≥a^（b+c） × b^（c+a） × c^（a+b）
已知a ,b ,c 为正数,求证 a^2a × b^2b × c^2c ≥a^（b+c） × b^（c+a） × c^（a+b）
已知a ,b ,c 为正数,求证 a^2a × b^2b × c^2c ≥a^（b+c） × b^（c+a） × c^（a+b）
先证a^ab^b≥a^bb^a,即（a/b)^a≥(a/b)^b,若a≥b,则a/b≥1,（a/b)^a≥(a/b)^b;若a
[ a^2a × b^2b × c^2c ]/[a^（b+c） × b^（c+a） × c^（a+b）]
=a^[a-b+a-c]×b^[b-c-a+b]×c^[c-b+c-a]
=a^(a-b)×b^[-(a-b)]×a^(a-c)×c^[-(a-c)]×b^(b-c)×c[-(b-c)]
=(a/b)^(a-b)×(a/c)^(a-c)×(b/c)^(b-c)
...
全部展开
[ a^2a × b^2b × c^2c ]/[a^（b+c） × b^（c+a） × c^（a+b）]
=a^[a-b+a-c]×b^[b-c-a+b]×c^[c-b+c-a]
=a^(a-b)×b^[-(a-b)]×a^(a-c)×c^[-(a-c)]×b^(b-c)×c[-(b-c)]
=(a/b)^(a-b)×(a/c)^(a-c)×(b/c)^(b-c)
a>b a/b>1 a-b>0 (a/b)^(a-b)>1
a1
a=b (a/b)^(a-b)=1
即a ，b 为正数，都有(a/b)^(a-b)>=1
同理 (a/c)^(a-c)>=1 (b/c)^(b-c)>=1
[ a^2a × b^2b × c^2c ]/[a^（b+c） × b^（c+a） × c^（a+b）]>=1
a^2a × b^2b × c^2c ≥a^（b+c） × b^（c+a） × c^（a+b）
收起
不妨设a>=b>=c；
将不等式右边除过来，得(a/b)^(a-b)*(a/c)^(a-c)*(b/c)^(b-c)>=1；
底数>=1，指数>=0，幂>=1，故三者相乘>=1，证毕。