高二均值不等式,已知a,b,c都为正数,求证：(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2已知a,b,c都为正数,求证：(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2用均值不等式,谢谢了
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/01 00:08:39
高二均值不等式,已知a,b,c都为正数,求证：(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2已知a,b,c都为正数,求证：(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2用均值不等式,谢谢了
高二均值不等式,已知a,b,c都为正数,求证：(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2
已知a,b,c都为正数,求证：(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2
用均值不等式,谢谢了
高二均值不等式,已知a,b,c都为正数,求证：(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2已知a,b,c都为正数,求证：(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2用均值不等式,谢谢了
证明：分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)2＝(1+1+1)(1+1+1)=9
∴原不等式成立.
(a+b+c)*(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))
=[(a+b)+(b+c)+(a+c)-(a+b+c)]*(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))
=[(a+b)+(b+c)+(a+c)]*(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))-(a+b+c)*(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))
=0.5*[(a+b)+(b+c)+...
全部展开
(a+b+c)*(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))
=[(a+b)+(b+c)+(a+c)-(a+b+c)]*(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))
=[(a+b)+(b+c)+(a+c)]*(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))-(a+b+c)*(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))
=0.5*[(a+b)+(b+c)+(a+c)]*(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))
由均值不等式定理
调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
满足下列关系
Hn≤Gn≤An
即有：(a1+a2+...+an)*(1/a1+1/a2+...+1/an)>=n^2
令n=3，
则有：左边>=0.5*3^2=9/2
证毕。
希望对你有所提示……
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