设a,b,c为正数且a+b+c=1,证明[a+(1/a)]^2+[b+(1/b)]^2+[c+(1/c)]^2>=100/3用柯西不等式或均值不等式证明

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/13 14:26:51

设a,b,c为正数且a+b+c=1,证明[a+(1/a)]^2+[b+(1/b)]^2+[c+(1/c)]^2>=100/3用柯西不等式或均值不等式证明设a,b,c为正数且a+b+c=1,证明[a+(

设a,b,c为正数且a+b+c=1,证明[a+(1/a)]^2+[b+(1/b)]^2+[c+(1/c)]^2>=100/3用柯西不等式或均值不等式证明
设a,b,c为正数且a+b+c=1,证明[a+(1/a)]^2+[b+(1/b)]^2+[c+(1/c)]^2>=100/3
用柯西不等式或均值不等式证明

设a,b,c为正数且a+b+c=1,证明[a+(1/a)]^2+[b+(1/b)]^2+[c+(1/c)]^2>=100/3用柯西不等式或均值不等式证明
答：
解法一:
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥(1+1+1)^2
1/a+1/b+1/c≥9
[(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2](1+1+1)
≥(a+1/a+b+1/b+c+1/c)^2≥(1+9)^2
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2≥100/3
解法二：
由排序不等式知
3a^2+3b^2+3c^2≥a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2
由均值不等式知
1=a+b+c≥3(abc)^(1/3),即1/abc≥[3/(a+b+c)]^3
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2
=(a^2+b^2+c^2)+(1/a^2+1/b^2+1/c^2)+6
≥(a+b+c)^2/3+3(1/abc)^(2/3)+6
≥1/3+27+6=100/3
解法三：
设y=(x+1/x)^2=x^2+1/x^2+2
y''=2+6/x^4>0,y是凸函数,
由琴森不等式
[f(a)+f(b)+f(c)]/3≥f[(a+b+c)/3]
代入即可证明不等式.

设a,b,c为正数且a+b+c=1,证明(a+1/a)^2+(b+1/b)^2+(c+1/c)^2>=100/3 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明：1/a+1/b+1/c≥9. 设abc均为正数,且a+b+c=1.证明:ab+bc+ac=1/3 设a,b,c为正数且a+b+c=1,证明[a+(1/a)]^2+[b+(1/b)]^2+[c+(1/c)]^2>=100/3用柯西不等式或均值不等式证明若用反证法证明命题“已知a,b,c为正数,且ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≥√3”,则其反设设a b c均为正数,且a+b+c=1.证明ab+bc+ca小于等于1/3 求1设a b c均为正数,且a+b+c=1.证明ab+bc+ca小于等于1/3求1/a+1/b+1/c的最小值设a,b,c均为正数,a+b+c=1,证明ab+bc+ac=1/3 设a b c为正数,且a+b+c=1求a²b²+b²c²+c²a²≥abc a,b,c,d为正数,证明:(1)a+b a,b,c,d为正数,证明:(1)a+b 已知a、b、c都是正数,且a+b+c=1,证明:1-2b(a+c)+b2 设a,b,c均为正数,且a+2b+3c=1,则1/a+2/b+3/c的最小值为? 蛇a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明：1/a+1/b+1/c>=9 设a,b,c,d均为小于1的正数,试证明:a+b+c+d 设a,b,c 为正数,且3^a=4^b=6^c,求证1/c-1/a=1/2b 设a,b,c 为正数,且3^a=4^b=6^c,求证1/c-1/a=1/2b 设a、b、c为正数,且 3^a=4^b=6^c,求证：1/c-1-a=1/2b 请写出具体过程设a.b.c.均为正数,且a+b+c=1求证1/a+1/b+1/c大于等于9