已知α为第二象限角,且sinα=(根号15)/4,求[sin(α+π/4)]/[sin2α+cos2α+1]的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 14:07:54
已知α为第二象限角,且sinα=(根号15)/4,求[sin(α+π/4)]/[sin2α+cos2α+1]的值
已知α为第二象限角,且sinα=(根号15)/4,求[sin(α+π/4)]/[sin2α+cos2α+1]的值
已知α为第二象限角,且sinα=(根号15)/4,求[sin(α+π/4)]/[sin2α+cos2α+1]的值
由α为第二象限角,且sinα=(√15)/4,可以知cosa=-1/4
sin(α+π/4)]=√2/2(sina+cosa)=√2/2*(√15-1)/4=√2*(√15-1)/8
sin2α+cos2α+1=2sinacosa+cosa*cosa-sina*sina+1=-√15/8+1/16-15/16=-(7-√15)/8
所以[sin(α+π/4)]/[sin2α+cos2α+1]=[√2*(√15-1)/8]/[-(7-√15)/8]
=[√2*(√15-1)]/[(√15-7)]
=-(4√2+3√30)/17
分别对分子和分母进行分观察到题干中给的是关于α的因式。且分子为α的三角函数，分母为2α的三角函数。所以要将分母进行降角，但同时也会升幂。（cos2α=2cos^2α-1）.分子应用sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
所以
分子=sinαsinπ/4+cosαsinπ/4=√2(sinα+cosα)/2 ①
分母=2sinαcosα+2cos^...
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分别对分子和分母进行分观察到题干中给的是关于α的因式。且分子为α的三角函数，分母为2α的三角函数。所以要将分母进行降角，但同时也会升幂。（cos2α=2cos^2α-1）.分子应用sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
所以
分子=sinαsinπ/4+cosαsinπ/4=√2(sinα+cosα)/2 ①
分母=2sinαcosα+2cos^2α-1+1=2cosα(sina+cosα) ②
原式=①/②=√2/4cosα ③
根据α为第二象限角知道cosα在这个象限内是负值，且sinα=√15 /4
所以cosα=-√（1-sin^2α）=-1/4带入③得
[sin(α+π/4)]/(sin2α+cos2α+1)
=√2
手边没有纸，是口算的，可能结果有问题，但是原理肯定没有问题。请自己演算一遍。
这个题目考的是三角函数之间的转化。类似题目的思路都是要么统一角，要么统一三角函数的名称（都统一成正弦或者其他的三角函数），然后进行计算。
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