已知函数f(x)=alnx+x^2-1,(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程（2）若有关x的不等式f（x）≥b（x-1）在【1/e,+&）上恒成立,其中a,b所满足的关系及a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 23:49:34
已知函数f(x)=alnx+x^2-1,(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程（2）若有关x的不等式f（x）≥b（x-1）在【1/e,+&）上恒成立,其中a,b所满足的关系及a的取值范围
已知函数f(x)=alnx+x^2-1,(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程（2）若有关x的不等式f（x）≥b（x-1）
在【1/e,+&）上恒成立,其中a,b所满足的关系及a的取值范围
已知函数f(x)=alnx+x^2-1,(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程（2）若有关x的不等式f（x）≥b（x-1）在【1/e,+&）上恒成立,其中a,b所满足的关系及a的取值范围
f'(x)=a/x+2x ,x=1 f(1)=0 f'(1)=a+2,切线方程 g(x)斜率为a+2且过点（1,0）代入可得
g(x)=(a+2)x -(a+2)
作差y=f(x)-g(x).再取导数 令导数为0 得到两根 由单调性 知在端点或在那个大根出有最小值
故令x=1/e处 和大根处分别代入y 令 y>=0即可求出a的范围.
（1）f'(x)=(a/x)+2x-1，f'(1)=a+2，f(1)=1，在点(1,1)处，故切线方程：y=(a+2)(x-1)+1；
（2）f(x)≥b(x-1) [1/e,+∞]，即 alnx+x²-1≥b(x-1)；
令 g(x)=alnx+x²-bx+b，若g(x)在[1/e,+∞]上的极小值等于0，则题设条件成立；
令...
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（1）f'(x)=(a/x)+2x-1，f'(1)=a+2，f(1)=1，在点(1,1)处，故切线方程：y=(a+2)(x-1)+1；
（2）f(x)≥b(x-1) [1/e,+∞]，即 alnx+x²-1≥b(x-1)；
令 g(x)=alnx+x²-bx+b，若g(x)在[1/e,+∞]上的极小值等于0，则题设条件成立；
令 g'(x)=a/x+2x-b=0，若b²-8a≤0，则g'(x)≥0，函数g(x)单调增加，只要区间左端点函数值≥0即可；
g(1/e)=aln(1/e)+(1/e)²-(b/e)+b≥0→→b≥(1-ae²)/(e²-e)；
所以 (1-ae²)/(e²-e)≤b≤√(8a)；
不等式 (1-ae²)/(e²-e)≤√(8a) 有实数解，由之可确定a的取值范围（表达式过于繁琐，省略）；
若g'(x)=0有实数解，函数g(x)在指定域上不再是单调增加，因此必有一极小值，令极小值≥0结合二次方程根式判别式>0可确定两个a、b之间的关系式；可自己解解看（估计结果中的表达式也是很繁琐）。
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