设定函数（a/3）x^3+bx^2+cx+d(a＞0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(x)在(-∞,+∞)无极值点,求a的取值范围.我想知道第二问为什么由于a＞0,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 04:52:13
设定函数（a/3）x^3+bx^2+cx+d(a＞0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(x)在(-∞,+∞)无极值点,求a的取值范围.我想知道第二问为什么由于a＞0,
设定函数（a/3）x^3+bx^2+cx+d(a＞0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.
(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若f(x)在(-∞,+∞)无极值点,求a的取值范围.
我想知道第二问为什么
由于a＞0,所以（a/3）x^3+bx^2+cx+d在（-∞,+∞）内无极值点
等价于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（-∞,+∞）内恒成立
设定函数（a/3）x^3+bx^2+cx+d(a＞0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.(Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(x)在(-∞,+∞)无极值点,求a的取值范围.我想知道第二问为什么由于a＞0,
f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.
由此可得c=4a 5a+2b=9
当a=3且曲线y=f(x)过原点时,d=0,f(x)=x^3-3x^2+12x
f(x)在(-∞,+∞)无极值点,f′(x)=0没有变号零点
由于f′(x)=0是二次函数,当a>0时（抛物线开口向上）,没有变号零点等价于恒大于或等于0
无极值点代表导数不存在使其为0的值，由a>0，导数为二次函数开口向上，故是“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（-∞，+∞）内恒成立
根据几点的定义我们就知道了f(x)在整个数轴上单调曾和单调减同时存在，那么在数轴上只能是单调增即f′（x）=ax2+2bx+c≥0，不可能是单调减因为f′（x）=ax2+2bx+c在整个数轴上不可能总小于零。