2010年海南省理科数学12题详解

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 09:42:40
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2010年海南省理科数学12题详解

2010年海南省理科数学12题详解
2010年高考理科数学新课标选择第12题
（12）已知双曲线E的中心为原点,F(3, 0)是的焦点,过F的直线l与双曲线E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12, -15),则双曲线E的方程式为

由已知条件,交点F在x轴上,可设双曲线的方程为
x^2/a^2-y^2/b^2=1,
因为c=3,所以,a^2+b^2=c^2=9, ……①
设点A、B坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2),
由A、B中点为N(-12, -15)知：
x1+x2=2*(-12)=-24,
y1+y2=2*(-15)=-30, ……②
设直线l的斜率为k,由于F、N都在直线l上,所以
k=(0+15)/(3+12)=1, ……③
A、B两点都在双曲线上,所以
x1^2/a^2-y1^2/b^2=1,
x2^2/a^2-y2^2/b^2=1,
两式相减：(x1^2-x2^2)/a^2-(y1^2-y2^2)/b^2=0,
(x1^2-x2^2)/a^2=(y1^2-y2^2)/b^2,
(x1-x2)(x1+x2)/a^2=(y1-y2)(y1+y2)/b^2,
(x1+x2)/(y1+y2)*b^2/a^2=(y1-y2)/(x1-x2),
因为A、B在直线l上,所以 (y1-y2)/(x1-x2)=k=1,（结合③式）
故 (x1+x2)/(y1+y2)*b^2/a^2=1,
所以 b^2/a^2=(y1+y2)/(x1+x2),
结合②式, b^2/a^2=5/4,
结合①式,a^2=4, b^2=5,
故双曲线方程为：x^2/4-y^2/5=1.

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