在三角形ABC中,BC=2,BC边上的高AD=1,P是BC上任一点,PE//AB交AC于E,PF//AC交AB于F.（1）设BP=x,将S三角形PEF用x表示；（2）P在BC的什么位置时,S三角形PEF最大?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 15:25:40
在三角形ABC中,BC=2,BC边上的高AD=1,P是BC上任一点,PE//AB交AC于E,PF//AC交AB于F.（1）设BP=x,将S三角形PEF用x表示；（2）P在BC的什么位置时,S三角形PEF最大?
在三角形ABC中,BC=2,BC边上的高AD=1,P是BC上任一点,PE//AB交AC于E,PF//AC交AB于F.
（1）设BP=x,将S三角形PEF用x表示；
（2）P在BC的什么位置时,S三角形PEF最大?
在三角形ABC中,BC=2,BC边上的高AD=1,P是BC上任一点,PE//AB交AC于E,PF//AC交AB于F.（1）设BP=x,将S三角形PEF用x表示；（2）P在BC的什么位置时,S三角形PEF最大?
（1）S△ABC=1×2÷2=1
BP=x PC=2-x 由平行可推出S△BFP∽S△ABC∽S△EPC
S△BFP/S△ABC=（x/2)² S△BFP=x²/4
S△EPC/S△ABC=[（2-x)/2]² S△EPC=（x²-4x+4)/4
S△PEF=S四边形AEPF/2=[1-x²/4-（x²-4x+4)/4]/2=x/2-x²/4
（2）S=x/2-x²/4
=-1/4（x²-2x+1)+1/4
=-1/4(x-1)²+1/4
当x=1时,即P在BC的中点时,S△PEF最大,为1/4
(1)设AC=b,AB=c。由三角形面积公式得S△ABC=1=0.5*bc*sinA
由于PE//AB交AC于E，PF//AC交AB于F，易知∠FPE=180-∠FPB-∠EPC=180-∠B-∠C=∠A。由相似三角形得PF=x*b/2,PE=(2-x)*c/2。所以S△PEF=0.5*xb/2*(2-x)c/2=S△ABC*x(2-x)/4=x(2-x)/4
(2)由（1）和二次函数性质可知当x=1时Smax=1/4