求函数f(x)=sinx+cosx在{-2分之π,2分之π}上的最大值和最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/20 00:39:41
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求函数f(x)=sinx+cosx在{-2分之π,2分之π}上的最大值和最小值
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求函数f(x)=sinx+cosx在{-2分之π,2分之π}上的最大值和最小值
f(x)=√2(sinxcosπ/4+cosxsinπ/4)=)=√2sin(x+π/4)
解法一:x∈(-π/2,π/2)则(x+π/4)∈(-π/4,3π/4)
令Y=x+π/4,则g(Y)=√2sinY又sinY,在Y∈[-π/4,π/2]单调递增,在Y∈[π/2,3π/4]单调递减,故
f(x)max=g(Y)max=g(π/2)=√2,f(x)min=g(Y)min=g(-π/4)=-1
解法二:f'(x)=√2cos(x+π/4)=0解得x=π/4
则有f(-π/2)=-1,f(π/2)=1,f(π/4)=√2
易知f(x)max=f(π/4)=√2,f(x)min=f(-π/2)=-1

最大值=根号2,最小值=—1

sinx+cosx=根号二倍sin(x+π/4)
即最大值是根号二,最小值是负根号二