D是△ABC内一点,且满足∠DAC=∠DCA=30°,∠ABD=60°,E是BC的中点,F在AC上且满足AF=2FC.证明DE⊥EF.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/09 03:46:41
D是△ABC内一点,且满足∠DAC=∠DCA=30°,∠ABD=60°,E是BC的中点,F在AC上且满足AF=2FC.证明DE⊥EF.
D是△ABC内一点,且满足∠DAC=∠DCA=30°,∠ABD=60°,E是BC的中点,F在AC上且满足AF=2FC.证明DE⊥EF.
D是△ABC内一点,且满足∠DAC=∠DCA=30°,∠ABD=60°,E是BC的中点,F在AC上且满足AF=2FC.证明DE⊥EF.
方法一：
证明：
设△ABD的外界圆O与CD的延长线相交于G,与AC相交于H.
由已知条件,∠ADG=60=∠AGD,所以△ADG是正三角形,所以∠GAH=90,
因此GH是圆O的直径,因此GB⊥BH.
因为GD=DA=DC,所以D是GC的中点,所以DE‖GB；
又因为∠HDA=30,作角∠F1DC=30,显然△DHF1是正三角形,所以AH=HD=HF1=F1C,
因此F和F1重合,所以AH=HF=FC,F是HC中点,因此EF‖BH,所以DE⊥EF
方法一图片：
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方法二：
证明：
在AB上取一点H使得BH=BD,过C作BD的平行线CG,交HD延长线于G,HD延长交BC于E1.
由于∠HDB=60,所以∠CGD=∠BDG=120,∠GDC=180-∠ADC-∠ADH=180-∠AHD-∠ADH=∠HAD,又由于AD=DC,所以△AHD≌△DGC,所以GC=HD=BD,这样BDCG就是一个平行四边形,所以E和E1重合.令J为AC的中点,则EJ‖AB,且DJ⊥AC.由证法1我们已经知道∠DFJ=60,所以∠JED=∠BHD=60=∠DFJ,因此EFJD四点共圆,所以∠DEF=90,DE⊥EF.
方法二图片：http://ww123.net/baby/attachments/month_0708/20070817_2a3969b5d38a076a4a7c00ZZDoYFRuN1.gif
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