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来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 05:59:10
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证明：
设 tanA=a,tanB=b,tanC=c
则 A,B,C∈（0,π/4）
2A,2B,2C∈(0,π/2),
将tanA,tanB,tanC代入ab+bc+ca=1
得 tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA=1
tanC=(1-tanAtanB)/(tanA+tanB)
cot(π/2-C)=tanC=cot(A+B)
π/2-C=A+B+kπ,k∈Z,
又 A、B、C∈（0,π/4）,
从而 π/2-C∈(0,π/2),A+B∈(0,π/2)
则 π/2-C=A+B
因此 A+B+C=π/2,2A+2B+2C=π
原式左边=（1/2)(tan2A+tan2B+tan2C)
在(0,π/2)上利用琴生不等式 [设f(x)为凸函数,则f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸);
设f(x)为凹函数,f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),称为琴生不等式.
]
得 （1/2)(tan2A+tan2B+tan2C)≥(1/2)*3tan[(2A+2B+2C)/3]=(3/2)tan(π/3)=(3/2)*√3
∴a/(1-a^2)+b/(1-b^2)+c/(1-c^2)>=3√3/2
设A=a(1-a^2)，则A^2=(1/2)*2(a^2)(1-a^2)<=4/27，
则A<=3/[3sqrt(3)]，所以a/(1-a^2)=a^2/[a(1-a^2)]>={[3sqrt(3)]/2}*a^2，同理可得其他二式，
则LHS>={[3sqrt(3)]/2}*[(a^2) (b^2) (c^2)]>={[3sqrt(3)]/2}*(ab bc ca)=[3sqrt(3)]/2