关于完全平方公式数学问题已知k、a都是正整数,2004k+a、2004[k+1}+a都是完全平方数.问这样的有序正整数（k,a）共有多少组?指出的最小值,并说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 23:38:20
关于完全平方公式数学问题已知k、a都是正整数,2004k+a、2004[k+1}+a都是完全平方数.问这样的有序正整数（k,a）共有多少组?指出的最小值,并说明理由
关于完全平方公式数学问题
已知k、a都是正整数,2004k+a、2004[k+1}+a都是完全平方数.问这样的有序正整数（k,a）共有多少组?指出的最小值,并说明理由
关于完全平方公式数学问题已知k、a都是正整数,2004k+a、2004[k+1}+a都是完全平方数.问这样的有序正整数（k,a）共有多少组?指出的最小值,并说明理由
：（1）设2004k+a=m 2 ,① 2004（k+1）+a=n 2 ,② 这里m、n都是正整数,则n 2 -m 2 =2004． 故（n+m）（n-m）=2004=2×2×3×167． 注意到,m+n、n-m的奇偶性相同,则 {n+m=1002 n-m=2 或{n+m=334 n-m=6. 解得{n=502 m=500或{n=170 m=164. 当n=502,m=500时,由式①得2004k+a=250000． 即：a=250000-2004k ③．∵k、a都是正整数, ∴k＞0,250000-2004k＞0, 解得：0＜k＜124.75…． ∴k可以取值1,2,…,124,相应得满足要求的正整数数组（k,a）共124组． 当n=170,m=164时,由式①得2004k+a=26896． 即a=26896-2004k ④． ∵k、a都是正整数, ∴k＞0,26896-2004k＞0, 解得：0＜k＜13.42…． ∴k可以取值1,2,…,13,相应得满足要求的正整数数组（k,a）共13组． 从而,满足要求的正整数数组（k,a）共有：124+13=137（组）． 故这样的有序正整数（k,a）共有137组； （2）由③、④可知a是k的一次函数,且a随k的增大而减小, 即当k取最大值时,a有最小值． 对于③,当k=124时,a=1504, 对于④,当k=13时,a=844． 故a的最小值应为844．