11.设a和b为正整数,若a的平方＋b的平方被ab整除,求证a＝b
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 19:32:04
11.设a和b为正整数,若a的平方＋b的平方被ab整除,求证a＝b
11.
设a和b为正整数,若a的平方＋b的平方被ab整除,求证a＝b
11.设a和b为正整数,若a的平方＋b的平方被ab整除,求证a＝b
设a,b最大公约数m,a=a1m,b=b1m,a1,b1互素
ab能整除a^2+b^2,因此a1b1整除a1^2+b1^2
因此,a1整除(a1^2+b1^2),得a1整除b1^2,因为a1,b1互素,所以a1=1
同理,b1整除(a1^2+b1^2),得b1整除a1^2,因为a1,b1互素,所以b1=1
因此a=b=m,证毕
希望能帮助到你
(1).若a,b互质，由于ab整除a^2+b^2，所以a整除a^2+b^2，从而a整除b^2，再根据a，b互质，可得a整除b，同理可得b整除a，于是a=b.
(2).若a,b不互质，设a,b最大公因数为d,则a/d,b/d互质。而ab整除a^2+b^2等价于ab/d^2整除(a/d)^2+(b/d)^2,由（1）可知a/d=b/d，于是a=b.
总之a=b....
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(1).若a,b互质，由于ab整除a^2+b^2，所以a整除a^2+b^2，从而a整除b^2，再根据a，b互质，可得a整除b，同理可得b整除a，于是a=b.
(2).若a,b不互质，设a,b最大公因数为d,则a/d,b/d互质。而ab整除a^2+b^2等价于ab/d^2整除(a/d)^2+(b/d)^2,由（1）可知a/d=b/d，于是a=b.
总之a=b.
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令 m 为 a与b 的最大公约数. m >= 1
a = m*A
b = m*B
(a*a + b*b)/(a*b)
分子分母同时除以 m*m 得:
(A*B) | (A*A + B*B) (*)
=>
A | B*B
因为 A 与 B 互质, 所以 A 的平方根可整...
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令 m 为 a与b 的最大公约数. m >= 1
a = m*A
b = m*B
(a*a + b*b)/(a*b)
分子分母同时除以 m*m 得:
(A*B) | (A*A + B*B) (*)
=>
A | B*B
因为 A 与 B 互质, 所以 A 的平方根可整除 B.
显然A的平方根是 A 与 B 的约数. 由于A与B互质, 故这个约数必为1.
于是 A = 1
把 A = 1 代入 * 式得:
B | (1 + B*B)
<=>
B | 1
B = 1
得:
a = m
b = m
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