利用定义判断函数f(x)=x+根号下(x2+1)在区间(-∞,+∞)上的单调性.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 21:55:01
利用定义判断函数f(x)=x+根号下(x2+1)在区间(-∞,+∞)上的单调性.
利用定义判断函数f(x)=x+根号下(x2+1)在区间(-∞,+∞)上的单调性.
利用定义判断函数f(x)=x+根号下(x2+1)在区间(-∞,+∞)上的单调性.
若 p>q,则 f(p)-f(q)=[p+√(1+p^2)]-[q+√(1+q^2)]
=(p-q)+[√(1+p^2)-√(1+q^2)]
=(p-q)+(p^2-q^2)/ [√(1+p^2)+√(1+q^2)]
=(p-q)【[√(1+p^2)+√(1+q^2)]+(p+q)】/[√(1+p^2)+√(1+q^2)]
=(p-q)【[√(1+p^2)+p]+[√(1+q^2)+q]】/[√(1+p^2)+√(1+q^2)]
>0.
所以函数函数 f(x)=x+√(1+x^2) 在(-∞,+∞)单调增加.
【注】以上证明最关键之处为:
①分子有理化 √(1+p^2)-√(1+q^2)=(p^2-q^2)/ [√(1+p^2)+√(1+q^2)];
②无论 x 取正取负,都有√(1+x^2)+x≥√(1+x^2)-|x|>|x|-|x|=0.
题目应该是:利用定义判断:f(x)=x+√(x²+1)在R上的单调性???
f(x)=x+√(x²+1)在R上为增函数.
给出证明如下:
设x1, x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=[ x1+√(x1²+1)]-[ x2+√(x2²+1)]
=(x1-x2)+( √(x1&...
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题目应该是:利用定义判断:f(x)=x+√(x²+1)在R上的单调性???
f(x)=x+√(x²+1)在R上为增函数.
给出证明如下:
设x1, x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=[ x1+√(x1²+1)]-[ x2+√(x2²+1)]
=(x1-x2)+( √(x1²+1)-√(x2²+1))
=(x1-x2)+ (x2²-x1²)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]
=(x1-x2)[1-(x2+x1)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]]
=(x1-x2)/ [√(x1²+1)+√(x2²+1)]]
∵√(x1²+1)> √(x1²)=|x1|≥x1,
∴√(x1²+1)-x1>0,同理,√(x2²+1)-x2>0,
又x1<x2,x1-x2<0
∴(x1-x2)/ [√(x1²+1)+√(x2²+1)]]<0
即f(x1)-f(x2)<0
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)=x+√(x²+1)在R上为增函数.
如果题目是:利用定义判断:f(x)=x²+√(x²+1)在R上的单调性.
f(x)=x²+√(x²+1)在(-∞,0 ]上为减函数,在(0+,∞)上为增函数.
下面给出证明:
设x1, x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=[ x1²+√(x1²+1)]-[ x2²+√(x2²+1)]
=(x1²-x2²)+( √(x1²+1)-√(x2²+1))
=(x1²-x2²)+ (x2²-x1²)/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]
=(x1²-x2²)[1-1/[√(x1²+1)+√(x2²+1)]]
=(x1-x2)( x1+x2) /√(x1²+1)+√(x2²+1)]]
∵√(x1²+1) ≥1,√(x1²+1) ≥1,
∴√(x1²+1)+√(x2²+1)]]-1>0
又x1<x2,x1-x2<0
∴当x1<x2≤0时,x1+x2<0,
(x1-x2)( x1+x2) /√(x1²+1)+√(x2²+1)]]>0
即f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2);
当0<x1<x2时,x1+x2>0,
(x1-x2)( x1+x2) /√(x1²+1)+√(x2²+1)]]<0
即f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2);
∴f(x)=x²+√(x²+1)在(-∞,0 ]上为减函数,在(0+,∞)上为增函数.
好辛苦,望采纳。
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