设3^m+n能被10整除,试证明3^(m+4)+n也能被10整除
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 00:44:18
设3^m+n能被10整除,试证明3^(m+4)+n也能被10整除
设3^m+n能被10整除,试证明3^(m+4)+n也能被10整除
设3^m+n能被10整除,试证明3^(m+4)+n也能被10整除
3^(m+4)+n=3^m×3^4+n=3^m×3^4+n×3^4-n×3^4+n
=3^4×(3^m+n)-81n+n
=81(3^m+n)-80n
因为：3^m+n能被10整除
所以：81(3^m+n)也能被10整除
又因为：80n能被10整除,
所以：81(3^m+n)-80n也能被10整除
即：3^(m+4)+n也能被10整除
3^(m+4)+n
=3^mx3^4+n
=81x3^m+n
=3^m+n+80x3^m
因为3^m+n能被10整除，而且80x3^m也一定能被10整除，
所以3^m+n+80x3^m一定能被10整除
即原题得证
3^1=3
3^2=9
3^3=27
3^4=81
3^5=243
......
可见3^n每4个连续的方幂数，个位数都是3、9、7、1这四个数字循环，也就是说，3^m和3^(m+4)的个位数是一样的（其实，3^4=81，1乘以任意数其个位数不变）
所以3^(m+4)+n也能被10整除
因为[3^(m+4)+n]-[3^m+n]=3^(m+4)-3^m
=3^4*3^m-3^m
=81*3^m-3^m
=80*3^m
全部展开
因为[3^(m+4)+n]-[3^m+n]=3^(m+4)-3^m
=3^4*3^m-3^m
=81*3^m-3^m
=80*3^m
80*3^m可以被10整除，而3^m+n也能被10整除
所以80*3^m和3^m+n的和也能被10整除
即3^(m+4)+n也能被10整除
收起