已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为x+2y-3=0如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范围.老师给的正确答案是:由题意f(1)=1,即切点坐标是(1,1)f′(x)=a
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/28 05:38:10
已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为x+2y-3=0如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范围.老师给的正确答案是:由题意f(1)=1,即切点坐标是(1,1)f′(x)=a
已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为x+2y-3=0
如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范围.
老师给的正确答案是:
由题意f(1)=1,即切点坐标是(1,1)
f′(x)=a(x+1/x -lnx)/(x+1)^-b/x^
由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2 ,且过点(1,1),故 f(1)=1 f′(1)=-1/2
即b=1 a /2 -b=-1/ 2 解得a=1,b=1
求得f(x)=lnx /x+1 +1/ x ,所以
f(x)-(lnx/x-1+k/ x )=1 /1-x2 (2lnx+(k-1)(x2-1)/x)
考虑函数h(x)=2lnx+(k-1)(x2-1) /x (x>0),则
h′(x)=(k-1)(x2+1)+2x /x2
(i)设k≤0,由h′(x)=k(x2+1)- (x-1)2 /x^知,当x≠1时,h′(x)<0.而h(1)=0,故
当x∈(0,1)时,h′(x)<0,可得1 /1-x2 h(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,可得1 /1-x2 h(x)>0
从而当x>0,且x≠1时,f(x)-(lnx/ x-1 +k /x )>0,即f(x)>lnx/ x-1 +k /x .
(ii)设0<k<1.由于当x∈(1,1 /1-k )时,(k-1)(x2+1)+2x>0,故h′(x)>0,而
h(1)=0,故当x∈(1,1 /1-k )时,h(x)>0,可得1 /1-x^ h(x)<0,与题设矛盾.
(iii)设k≥1.此时h′(x)>0,而h(1)=0,故当x∈(1,+∞)时,h(x)>0,可得1 /1-x^ h(x)<0,与题设矛盾.
综合得,k的取值范围为(-∞,0]
我的疑问是:
为什么k要分这三类呢?还有写x的区间的时候,1 /1-k 怎么来的?
已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线方程为x+2y-3=0如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范围.老师给的正确答案是:由题意f(1)=1,即切点坐标是(1,1)f′(x)=a
f(x)=lnx /(x+1) +1/ x ,
由当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx/(x-1) + k/x得
f(x)-[lnx/(x-1)+k/ x ]=2lnx/(1-x^2) +(1-k)/x,
考虑函数h(x)=2lnx+(1-k)(1-x^2)/x,(x>0,x≠1),
则h'(x)=2/x+(1-k)[-1/x^2-1)=[(k-1)(x^2+1)+2x]/x^2,
考虑上式分子中x^2的系数的符号,∴要分两类:k-1>=0,