an是等差数列,s5=25 a1,a2,a5成等比数列 求1/an*a(n+1)的前n项和Tn,并证明tn小于1/2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 03:28:03
an是等差数列,s5=25 a1,a2,a5成等比数列 求1/an*a(n+1)的前n项和Tn,并证明tn小于1/2
an是等差数列,s5=25 a1,a2,a5成等比数列 求1/an*a(n+1)的前n项和Tn,并证明tn小于1/2
an是等差数列,s5=25 a1,a2,a5成等比数列 求1/an*a(n+1)的前n项和Tn,并证明tn小于1/2
设公差为d,a5=a1+4d,s5=(a1+a1+4d)*5/2=25,a1+2d=5,(a1+d)²=a1(a1+4d),d=2a1,解得：a1=1,d=2,则an=2n-1,a(n+1)=2n+1,2/an*a(n+1)=1/(2n-1)-1/(2n+1),2Tn=1-1/3+1/3-1/5+┈┈+1/(2n-1)-1/(2n+1)=1-1/(2n+1)=2n/(2n+1),Tn=n/(2n+1)
a1,a2,a5成等比数列，故
a2^2=a1*a5
(a1+d)^2=a1(a1+4d)
a1^2+2a1d+d^2=a1^2+4a1d
d^2=2a1d
d=0或d=2a1
若d=0，则S5=5a1=25，得an=5
于是1/[an*a(n+1)]=1/(5*5)=1/25
于是Tn=n/25，不合题意。
若d=2a1，则...
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a1,a2,a5成等比数列，故
a2^2=a1*a5
(a1+d)^2=a1(a1+4d)
a1^2+2a1d+d^2=a1^2+4a1d
d^2=2a1d
d=0或d=2a1
若d=0，则S5=5a1=25，得an=5
于是1/[an*a(n+1)]=1/(5*5)=1/25
于是Tn=n/25，不合题意。
若d=2a1，则S5=5a3=5(a1+2d)=5(a1+2*2a1)=5，得a1=1，d=2，故an=1+(n-1)*2=2n-1
则1/[an*a(n+1)]=1/[(2n-1)(2n+1)]=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]*1/2
故Tn=[1/1-1/3]*1/2+[1/3-1/5]*1/2+……+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]*1/2
=[1-1/(2n+1)]*1/2=n/(2n+1)
易得Tn<1/2
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