设数列{an}的前n项积为Tn,Tn=1-an,设cn=1/Tn（1）证明数列{Cn}是等差数列（2）求数列{an}的通项公式（3）是否存在正整数m,n（1＜m＜n）,使得a1,am,an成等比数列?若存在,求出所有的m,n的值,若不存在,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 09:06:15
设数列{an}的前n项积为Tn,Tn=1-an,设cn=1/Tn（1）证明数列{Cn}是等差数列（2）求数列{an}的通项公式（3）是否存在正整数m,n（1＜m＜n）,使得a1,am,an成等比数列?若存在,求出所有的m,n的值,若不存在,
设数列{an}的前n项积为Tn,Tn=1-an,设cn=1/Tn（1）证明数列{Cn}是等差数列
（2）求数列{an}的通项公式（3）是否存在正整数m,n（1＜m＜n）,使得a1,am,an成等比数列?若存在,求出所有的m,n的值,若不存在,说理由.只做第三问就可以了,我推出式子解不出m,n
设数列{an}的前n项积为Tn,Tn=1-an,设cn=1/Tn（1）证明数列{Cn}是等差数列（2）求数列{an}的通项公式（3）是否存在正整数m,n（1＜m＜n）,使得a1,am,an成等比数列?若存在,求出所有的m,n的值,若不存在,
T1=a1=1-a1 2a1=1 a1=1/2
a1a2...an=Tn=1-an (1)
a1a2...a(n-1)=Tn-1=1-a(n-1) (2)
(1)/(2)
an=(1-an)/[1-a(n-1)]
整理,得
[2-a(n-1)]an=1
an=1/[2-a(n-1)]
a2=1/(2-1/2)=2/3
假设当n=k(k∈N+,且k≥2)时,ak=k/(k+1),则当n=k+1时,
a(k+1)=1/(2-ak)=1/[2-k/(k+1)]=1/[(2k+2-k)/(k+1)]=(k+1)/(k+2)=(k+1)/[(k+1)+1],同样满足.
数列{an}的通项公式为an=n/(n+1)
Tn=a1a2...an=(1/2)(2/3)...[n/(n+1)]=1/(n+1)
cn=1/Tn=n+1
c1=1/T1=1/a1=2
cn-c(n-1)=(n+1)-n=1,为定值.
数列{cn}是以2为首项,1为公差的等差数列.
a1=1/2 am=m/(m+1) an=n/(n+1)
假设存在满足题意的m、n.则n>2.
2m/(m+1)=1/2 +n/(n+1)
整理,得
mn+3m=3n+1
(n+3)m=(3n+1)
m=(3n+1)/(n+3)=(3n+9-8)/(n+3)=3-8/(n+3)
要m为大于1的正整数,0
（1）数列{an}的前n项积为Tn，则an=Tn/T(n-1)
又Tn=1-an，得an=1-Tn，代入得
1－Tn=Tn/T(n-1)，两边同除Tn得
1/Tn-1=1/T(n-1)，即1/Tn-1/T(n-1)=1，
所以{cn}是等差数列，d=1
(2)a1=T1=1-a1，得a1=T1=1/2，T1=2
1/Tn=2+(n-1)=n+1
全部展开
（1）数列{an}的前n项积为Tn，则an=Tn/T(n-1)
又Tn=1-an，得an=1-Tn，代入得
1－Tn=Tn/T(n-1)，两边同除Tn得
1/Tn-1=1/T(n-1)，即1/Tn-1/T(n-1)=1，
所以{cn}是等差数列，d=1
(2)a1=T1=1-a1，得a1=T1=1/2，T1=2
1/Tn=2+(n-1)=n+1
Tn=1/(n+1)
T(n-1)=1/n
an=Tn/T(n-1)=n/(n+1)
(3)要使得a1，am，an成等比数列，则(am)^2=a1*an
[m/(m+1)]^2=(1/2)*[n/(n+1)]=n/[2(n+1)]
因为m/(m+1)是最简分数，[m/(m+1)]^2也是。
1、当n为偶数时
m^2=n/2
(m+1)^2=n+1
解得m=2 (m=1舍去)，n=8
2、当n 为奇数时
m^2=n
(m+1)^2=2(n+1)
解得m=1（舍去）
所以m=2，n=8
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