若函数y=1/3x3-1/2ax2+(a-1)x+1在区间（1,4）内为减函数,在区间（6,+∞)内为增函数试求实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 10:26:04
若函数y=1/3x3-1/2ax2+(a-1)x+1在区间（1,4）内为减函数,在区间（6,+∞)内为增函数试求实数a的取值范围
若函数y=1/3x3-1/2ax2+(a-1)x+1在区间（1,4）内为减函数,在区间（6,+∞)内为增函数
试求实数a的取值范围
若函数y=1/3x3-1/2ax2+(a-1)x+1在区间（1,4）内为减函数,在区间（6,+∞)内为增函数试求实数a的取值范围
令y=f（x）,那么f（x）=x^3/3 -ax^2/2 +(a-1)x+1是连续函数!
f’=x^2-ax+a-1
在区间（1,4）内为减函数
也就是说
f’（1）<=0,且f’（4）<=0
所以,15-3a<=0所以,a>=5
在区间（6,+∞)内为增函数
也就是说
f’（6）>=0
所以,35-5a>=0
所以a>=7
所以a的取值范围是[5,7]
是闭区间的!楼1的理解不大妥当哦!
∵函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+(a-1)x+1
∴f′（x）=x2-ax+（a-1）=（x-1）[x-（a-1）]
又∵函数f（x）区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，
∴4≤a-1≤6
∴5≤a≤7
求导Y`=x^2-ax+a-1
问题即为当X在区间（1,4），y`<0恒成立，当X在区间（6,+∞)，y`>0恒成立
分离参数a>1+x,X在区间（1,4）且a<1+X,在区间（6,+∞)，
所以7>a>5
……在电脑上实在不好打将就点吧
函数f（x）的导数f′（x）=x2-ax+a-1．
令f′（x）=0，解得x=1或x=a-1．
当a-1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意．
当a-1＞1，即a＞2时，函数f（x）在（-∞，1）上为增函数，
在（1，a-1）内为减函数，在（a-1，+∞）上为增函数．
依题意应有
当x∈（1，4）时，f′（x）＜0，
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函数f（x）的导数f′（x）=x2-ax+a-1．
令f′（x）=0，解得x=1或x=a-1．
当a-1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意．
当a-1＞1，即a＞2时，函数f（x）在（-∞，1）上为增函数，
在（1，a-1）内为减函数，在（a-1，+∞）上为增函数．
依题意应有
当x∈（1，4）时，f′（x）＜0，
当x∈（6，+∞）时，f′（x）＞0．
所以4≤a-1≤6，解得5≤a≤7．
所以a的取值范围是[5，7]．
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