若函数f(x)=x3-3ax2+1的图像与直线y=3只有一个公共点,则实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 04:06:28
若函数f(x)=x3-3ax2+1的图像与直线y=3只有一个公共点,则实数a的取值范围
若函数f(x)=x3-3ax2+1的图像与直线y=3只有一个公共点,则实数a的取值范围
若函数f(x)=x3-3ax2+1的图像与直线y=3只有一个公共点,则实数a的取值范围
依题有
x^3 - 3ax^2 + 1 = 3 只有一个解
也即 2/(3x^2) = x/3 -a 只有一解
可以把上式理解 为 两个 图像 只有一个交点 这一点非常重要
把上面两个图像 简单的画一个示意图
注意仔细 看 f（x）=2/（3x^2）第2象限 的 曲线上 的点
到 直线 f（x）=x/3 的最小距离 的那个点
2象限曲线上的点 到直线上的距离 ：
d= |x/3-2/(3x^2)| / 根号【（1/3)^2+1】 在此 x=3 开三次方【2/x^2 * (-1/2 x) * (-1/2 x)】
当2/x^2 = -1/2 x 取得等号 解出 x = 开三次方（-4）
对应 f（x）=2/（3x^2）上的 y=2/（3 开三次方（16））
将 x ,y 代入 f（x）=x / 3 -a
接触 a 值 即为 满足条件的 最小值
所以 a 的范围 为
主要是 体会 图形 化 的精神
联立得到x^3-3ax^2+1=3
令g(x)=x^3-3ax^2-2
所以只要让g(x)有且仅有一个根就可以了
求导g'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a) 两根为0，2a
分类讨论
当a=0时，g'(x)大于等于0，原函数单调递增，因为定义域R,所以与x轴会必有一个交点
当a大于0时，2a大于0
根据导函数性质得到g(x)在（负无...
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联立得到x^3-3ax^2+1=3
令g(x)=x^3-3ax^2-2
所以只要让g(x)有且仅有一个根就可以了
求导g'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a) 两根为0，2a
分类讨论
当a=0时，g'(x)大于等于0，原函数单调递增，因为定义域R,所以与x轴会必有一个交点
当a大于0时，2a大于0
根据导函数性质得到g(x)在（负无穷，0），（2a，正无穷）上递增，在[0,2a]上递减
所以要想满足题意，g(2a)大于0或g(0)小于0
因为g(0)=-2 恒小于0，所以所有的a都可以
所以a大于0
当a小于0时，2a小于0
所以原函数在（负无穷，2a），（0,正无穷）上递增，在[2a,0]上递减
所以同理，要想题目成立，g(0)大于0或g(2a)小于0
解得a大于 -三次根号下（1/2） （注意不是无解，因为是“或”的关系）
综上-三次根号下（1/2）小于a小于0
综上a的范围是（-三次根号下（1/2），正无穷）
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