设a,b,c是互不相等的实数,关于x的方程x平方+ax+1=0和x平方+bx+c=0有一个相同的实根；且关于x的方程x平方+x+a=0和X平方+cx+b=0也有一个相同的实数根,试求a+b+c的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 16:10:06
设a,b,c是互不相等的实数,关于x的方程x平方+ax+1=0和x平方+bx+c=0有一个相同的实根；且关于x的方程x平方+x+a=0和X平方+cx+b=0也有一个相同的实数根,试求a+b+c的值
设a,b,c是互不相等的实数,关于x的方程x平方+ax+1=0和x平方+bx+c=0有一个相同的实
根；且关于x的方程x平方+x+a=0和X平方+cx+b=0也有一个相同的实数根,试求a+b+c的值
设a,b,c是互不相等的实数,关于x的方程x平方+ax+1=0和x平方+bx+c=0有一个相同的实根；且关于x的方程x平方+x+a=0和X平方+cx+b=0也有一个相同的实数根,试求a+b+c的值
对于x²+ax+1=0和x²+bx+c,设相同的根是m
得到m²+am+1=0---①,m²+bm+c=0---②
对于x²+x+a和x²+cx+b,设相同的根是n
得到n²+n+a=0---③,n²+cn+b=0---④
①-③得
m²-n²+a(m-1)+(1-n)=0---⑤
②-④得
m²-n²+b(m-1)+c(1-n)=0---⑥
对比⑤⑥可以看出一些相似之处
由于m、n是任意的,所以要使⑤、⑥恒成立
所以a=b=0,c=1
所以a+b+c=1
设方程x²+ax+1=0和x²+bx+c=0相同的实根为m
则m²+am+1=0,m²+bm+c=0,两式相减：（a-b）m=c-1,∴m=(c-1)／(a-b)
代入第一式得：﹙c-1﹚²+a﹙a-b﹚﹙c-1﹚+﹙a-b﹚²=0
同理得：a﹙c-1﹚²+﹙a-b﹚﹙c-1﹚+﹙a-b﹚²=0...
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设方程x²+ax+1=0和x²+bx+c=0相同的实根为m
则m²+am+1=0,m²+bm+c=0,两式相减：（a-b）m=c-1,∴m=(c-1)／(a-b)
代入第一式得：﹙c-1﹚²+a﹙a-b﹚﹙c-1﹚+﹙a-b﹚²=0
同理得：a﹙c-1﹚²+﹙a-b﹚﹙c-1﹚+﹙a-b﹚²=0
将如上两式相减：（a-1）（c-1）（c+b-a-1）=0,若a=1,则第一个方程无实根，若c=1，则a=b,这与已知不符，则只有c+b-a-1=0即a-b=c-1成立，代入上式：a=-2,∴c+b=-1
所以a+b+c的值为-3
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x^2+ax+1=0 (1),
x^2+bx+c=0 (2).
设x1,x2 为(1)式的两个实数根，由韦达定理得：
x1+x2=-a, x1=-a-x2.
假定x1为(1)、(2)式的公共根，并将其代入(2)式,得：
(-a-x2)^2+b(-a-x2)+c=0. 【[为便于书写，省去x2的脚标2】
a^2+...
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x^2+ax+1=0 (1),
x^2+bx+c=0 (2).
设x1,x2 为(1)式的两个实数根，由韦达定理得：
x1+x2=-a, x1=-a-x2.
假定x1为(1)、(2)式的公共根，并将其代入(2)式,得：
(-a-x2)^2+b(-a-x2)+c=0. 【[为便于书写，省去x2的脚标2】
a^2+2ax+x^2-ab-bx+c=0, 整理得：
x^2+(2a-b)x+a^2-ab+c=0.
判别式△=(2a-b)^2-4*(a^2-ab+c)≥0.
4a^2-4ab+b^2-4a^2+4ab-4c≥0.
b^2-4c≥0.
|b|≥2c.
∴b≤-2c,或b≥2c.
又，∵x^2+x+a=0与x^2+cx+b=0有相同的实数根,
∴c=1,a=b.
∴若b=-2c=-2，则a=-2；
则，a+b+c=-2-2+1=-3；
若b=2c=2,则a=b=2,
则，a+b+c=5.
故，a+b+c=-3,
或a+b+c=2+2+1=5.
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