已知等腰梯形ABCD的顶点都在⊙O上,AB‖CD,弧AB+弧CD=弧AD+弧BC 若AB=4,CD=6,求等腰梯形ABCD的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 03:41:06
已知等腰梯形ABCD的顶点都在⊙O上,AB‖CD,弧AB+弧CD=弧AD+弧BC 若AB=4,CD=6,求等腰梯形ABCD的面积
已知等腰梯形ABCD的顶点都在⊙O上,AB‖CD,弧AB+弧CD=弧AD+弧BC 若AB=4,CD=6,求等腰梯形ABCD的面积
已知等腰梯形ABCD的顶点都在⊙O上,AB‖CD,弧AB+弧CD=弧AD+弧BC 若AB=4,CD=6,求等腰梯形ABCD的面积
过O作EF垂直AB于E,垂直CD于F,过B作BG垂直CD于G,连结AO,BO,CO,DO
因为弧AB+弧CD=弧AD+弧BC
所以∠AOB+∠COD=∠BOC+∠AOD
因为∠AOB+∠COD+∠BOC+∠AOD=360°
所以∠AOB+∠COD=180°
因为BO=AO=CO=DO
所以EO平分∠AOB,FO平分∠COD,且BE=GF=2,CF=3
所以∠EOB+∠FOC=90°
所以∠BOC=90°
因为BO=CO,设半径为r
则BC=√2r
因为CG=3-2=1
所以BG=√(2r^2-1)=EF
因为OE=√(BO^2-BE^2)=√(r^2-4),OF=√(CO^2-CF^2)=√(r^2-9)
所以EF=OF+OE,即√(2r^2-1)=√(r^2-4)+√(r^2-9)
解得r=√13（之前解错两次- -||||||）
所以EF=5
所以S等腰梯形ABCD=(AB+CD)*EF/2=25
过A做AE垂直于CD于E，易知DE=1，
AD=BC，所以弧AD=弧BC
因为，弧AB+弧CD=弧AD+弧BC，所以AB+CD=AD+BC=2AD=10,
所以AD=5，进而AE=（AD方-DE方）的开方=根号24
等腰梯形ABCD的面积=(AB+CD)AE/2=10根号6
上面的答案都是给高中生的，要知道，这是初二的题目，看看下面的答案，这才是初二的答案：
连接OA、OB、OC、OD
过O作EF垂直于AB、CD，垂足分别是E、F
只要证明三角形OEB全等于三角形CFO即可得到OE=CF=3，OF=BE=2
最终得到EF=OE+OF=3+2=5
梯形面积=（AB+CD）x EF / 2 = (4+6) X 5 / 2 = 25...
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上面的答案都是给高中生的，要知道，这是初二的题目，看看下面的答案，这才是初二的答案：
连接OA、OB、OC、OD
过O作EF垂直于AB、CD，垂足分别是E、F
只要证明三角形OEB全等于三角形CFO即可得到OE=CF=3，OF=BE=2
最终得到EF=OE+OF=3+2=5
梯形面积=（AB+CD）x EF / 2 = (4+6) X 5 / 2 = 25
而证明以上两个三角形全等，很简单
AB/BC/CD/DA 四个弧之和为360°
而AB和CD弧长之和与BC和DA弧长之和相等
所以BC和DA弧长之和为180°
又因为梯形为等腰梯形
所以BC=DA
所以BC和DA弧长相等，都是90°
角BOE+COF=90°
而三角形BOE中，角BOE+EBO=90°
所以两个RT三角形OEB和CFO一个底角相等，一个斜边相等（都是R）
所以，两个三角形全等。
收起
弧AB+弧CD=弧AD+弧BC
且弧AD=弧BC
可知圆心O在梯形的内部，且∠AOD=∠BOC=90
设半径为r，过O作AB、CD的垂线OE、OF
则r^2=4+OE^2,r^2=9+OF^2...(1)
∠AOD=∠BOC=90，AD=√2 r
过A作AH⊥CD
AD^2=AH^2+DH^2,DH=(6-4)/2=1
2r^2=...
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弧AB+弧CD=弧AD+弧BC
且弧AD=弧BC
可知圆心O在梯形的内部，且∠AOD=∠BOC=90
设半径为r，过O作AB、CD的垂线OE、OF
则r^2=4+OE^2,r^2=9+OF^2...(1)
∠AOD=∠BOC=90，AD=√2 r
过A作AH⊥CD
AD^2=AH^2+DH^2,DH=(6-4)/2=1
2r^2=(OE+OF)^2+1...(2)
有（1）、（2）得
OE=3 OF=2
AH=5
ABCD的面积=1/2×（4+6）×5=25
收起