公式证明：周长相等的矩形和正方形,为什么正方形面积最大?用那个 a的平方 ,b的平方 ,根号下ab,证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 04:36:23
公式证明：周长相等的矩形和正方形,为什么正方形面积最大?用那个 a的平方 ,b的平方 ,根号下ab,证明
公式证明：周长相等的矩形和正方形,为什么正方形面积最大?
用那个 a的平方 ,b的平方 ,根号下ab,证明
公式证明：周长相等的矩形和正方形,为什么正方形面积最大?用那个 a的平方 ,b的平方 ,根号下ab,证明
令长方形的边长为a,b,则周长=2a+2b
正方形周长=长方形周长=2a+2b
正方形边长=（2a+2b)/4=(a+b)/2
长方形面积：ab
正方形面积 = {(a+b)/2}^2 = 1/4(a^2+b^2+2ab) = 1/4 { (a-b)^2+2ab+2qb } = 1/4(a-b)^2 + ab
长方形的长≠宽
∴a-b≠0
∴（a-b)^2＞0
∴正方形面积 = 1/4(a-b)^2 + ab ＞ ab = 长方形面积
s=2(a+b)
a=s/2-b (1)
S=ab=b(s/2-b)
当b=s/2-b时S最大，此时b=s/4
代入（1）得
a=s/4=b
这时得到的是正方形。
所以
周长相等的矩形和正方形，正方形面积最大
设a、b为矩形的两个边，根据题意a+b=c为定值，且c为固定周长的一半。
矩形面积S=ab=a(c-a)=c^2/4-(c/2-a)^2。从此式中知c/2=a时，矩形面积有最大值c^2/4。
此时a=b=c/2
设矩形的周长为L，长为a，则宽为(L-2a)/2，矩形的面积为S=a*(L-2a)/2
S=1/2(La-2a^2)
S=-(a-L/4)^2+(L/4)^2
因为L为定值，所以当a=L/4时，S的值最大（把式子看成以a为变量的一元二次方程的配方式），即当长a为四分之一周长时面积最大，S的最大值为+(L/4)^2。也就是说，周长为一定值的矩形，长宽相等时面积最大。...
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设矩形的周长为L，长为a，则宽为(L-2a)/2，矩形的面积为S=a*(L-2a)/2
S=1/2(La-2a^2)
S=-(a-L/4)^2+(L/4)^2
因为L为定值，所以当a=L/4时，S的值最大（把式子看成以a为变量的一元二次方程的配方式），即当长a为四分之一周长时面积最大，S的最大值为+(L/4)^2。也就是说，周长为一定值的矩形，长宽相等时面积最大。
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设正方形边长为a，矩形边长为b和c，则有a＞0，b＞0，c＞0，b≠c，
则由题目提示得4a=2b+2c，即a=（b+c）/2，而正方形面积为a^2，矩形面积为bc，故有
a^2-bc=（b+c）^2/4-bc=(b^2+2bc+c^2-4bc)/4=（b-c）^2/4
由于b＞0，c＞0，b≠c，则有a^2-bc=（b-c）^2/4＞0，即a^2＞bc
故有正方形...
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设正方形边长为a，矩形边长为b和c，则有a＞0，b＞0，c＞0，b≠c，
则由题目提示得4a=2b+2c，即a=（b+c）/2，而正方形面积为a^2，矩形面积为bc，故有
a^2-bc=（b+c）^2/4-bc=(b^2+2bc+c^2-4bc)/4=（b-c）^2/4
由于b＞0，c＞0，b≠c，则有a^2-bc=（b-c）^2/4＞0，即a^2＞bc
故有正方形面积一定大于矩形面积。
这样就按楼主说的用平方和来解释了。
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