求n的n分之一次方的极限 严密点儿最好哈~

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 00:51:55
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求n的n分之一次方的极限 严密点儿最好哈~
将n换为x
即求：lim[x→+∞] x^(1/x)
=lim[x→+∞] e^[(1/x)lnx]
=e^[lim[x→+∞] (1/x)lnx]
洛必达法则
=e^[lim[x→+∞] (1/x)]
=e^0
=1

而n^(1/n)可以看作上面函数极限的一个子列,因此
lim[n→∞] n^(1/n)=1

希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢.

记n^(1/n)=1+a(n), 则n=(1+a(n))^n>n(n-1)/2 * (a(n))^2, 所以
0对任意ε>0, 取N=1+ 2/ε^2, 当n>N时
|n^(1/n)-1|=a(n)<(2/(n-1))^(1/2) <ε
所以lim(n^(1/n))=1.

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