已知向量a=(1,2),b=(cosa,sina).设m=a+tb(t为实数)若a=派/4,求当|m|取最小时实数t的值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 01:46:06
已知向量a=(1,2),b=(cosa,sina).设m=a+tb(t为实数)若a=派/4,求当|m|取最小时实数t的值已知向量a=(1,2),b=(cosa,sina).设m=a+tb(t为实数)若

已知向量a=(1,2),b=(cosa,sina).设m=a+tb(t为实数)若a=派/4,求当|m|取最小时实数t的值
已知向量a=(1,2),b=(cosa,sina).设m=a+tb(t为实数)
若a=派/4,求当|m|取最小时实数t的值

已知向量a=(1,2),b=(cosa,sina).设m=a+tb(t为实数)若a=派/4,求当|m|取最小时实数t的值

m={1+tcosa,2+tsina}
|m|^2=(1+tcosa)^2 + (2+tsina)^2
=t^2 + 5 + t(2cosa+4sina)
当a = π/4时:
|m|^2 = t^2+5+3√2t
|m|^2取最小值时,|m|也取最小值
∴|m|^2 = (t+3√2/2)^2+5-9/2=(t+3√2/2)^2+1/2
即:当t=-3√2/2时|m|取最小值

m = a+tb
|m|^2= (a+tb).(a+tb)
= |a|^2 + t^2|b|^2 + 2ta.b
= 5+ t^2+ 2t(cosA+ 2sinA)
(|m|^2)' = 2t+ 2(cosA+2sinA) =0
t = -1/(cosA+2sinA)
(|m|^2)'' = 2 > 0 (min)
|m|取最小时实数t= -1/(cosA+2sinA) =-1/(√2/2 + √2) = -√2/3

m=(1+t*2分之根号2,2+t*2分之根号2)
m的平方=t平方+t*3倍根号2 +1
求出这个关于t的一元二次式的最小值,然后在开根号,就可以求出m 的模的最小值,
只是提供方法,具体自己计算!

a^2=5 ,b^2=1,ab=3√2/2
m^2=(a+tb)^2
=a^2+2tab+t^2b^2
=5+3t√2+t^2
=(t+3√2/2)^2+1/2
当t=-3√3/2 时m^2有最小值,也即|m|有最小值。

m=a+tb=(1,2)+t(cosa,sina)=(1+tcosa,2+tsina)
当a=π/4时,则m=(1+(t根号2)/2,2+(t根号2)/2),于是
|m|^2=[1+(t根号2)/2]^2+[2+(t根号2)/2]^2=t^2+(3倍根号2)t+5=[t+(3倍根号2)/2]^2+1/2
显然当t=-(3倍根号2)/2时,|m|取得最小值

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