如图 已知三角形ABC为正三角形点M、N分别是边BC、AC且BM=CN,BN与AM相交于Q点,AH⊥BN于点H求证：AQ=2QH
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/31 15:27:46
如图 已知三角形ABC为正三角形点M、N分别是边BC、AC且BM=CN,BN与AM相交于Q点,AH⊥BN于点H求证：AQ=2QH
如图 已知三角形ABC为正三角形点M、N分别是边BC、AC且BM=CN,BN与AM相交于Q点,AH⊥BN于点H
求证：AQ=2QH
如图 已知三角形ABC为正三角形点M、N分别是边BC、AC且BM=CN,BN与AM相交于Q点,AH⊥BN于点H求证：AQ=2QH
证明：
△ABC是正三角形：AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=60°
△ABM和△BCN中：
AB=BC
BM=CN
∠ABM=∠BCN=60°
所以：△ABM≌△BCN（边角边）
所以：∠BAM=∠CBN=∠ABC-∠ABQ
所以：∠BAM+∠ABQ=∠ABC=60°
根据三角形外角定理有：∠BQM=∠BAM+∠ABQ=60°
所以：∠AQH=∠BQM=60°（对顶角相等）
所以：RT△AHQ中,∠QAH=90°-60°=30°
所以：QH=AQ/2
所以：AQ=2QH
因为△ABC为正三角形
所以AB=BC，∠ABC=∠C=60°
所以AB=BC，∠ABC=∠C，BM=CN
所以△ABM全等于△BCN（SAS）
所以∠CBN＝∠BAM
因为∠CBN+∠ABN＝∠ABC＝60°
所以∠BAM+∠ABN＝60°
因为∠BAM+∠ABN＝∠AQH
所以∠AQH=60°
又因为AH⊥BN
所...
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因为△ABC为正三角形
所以AB=BC，∠ABC=∠C=60°
所以AB=BC，∠ABC=∠C，BM=CN
所以△ABM全等于△BCN（SAS）
所以∠CBN＝∠BAM
因为∠CBN+∠ABN＝∠ABC＝60°
所以∠BAM+∠ABN＝60°
因为∠BAM+∠ABN＝∠AQH
所以∠AQH=60°
又因为AH⊥BN
所以∠QAH=30°
所以QH=1/2AQ（在直角三角形内，30°角所对的直角边是斜边的一半）
所以AQ=2QH
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