圆锥的高为1,底面半径为√3,过圆锥顶点的截面面积最大是?最大的面积为什么不是截面的三角形√3?

圆锥的高为1,底面半径为√3,过圆锥顶点的截面面积最大是?最大的面积为什么不是截面的三角形√3?
圆锥的高为1,底面半径为√3,过圆锥顶点的截面面积最大是?
最大的面积为什么不是截面的三角形√3?

圆锥的高为1,底面半径为√3,过圆锥顶点的截面面积最大是?最大的面积为什么不是截面的三角形√3?
最大的面积为什么不是轴截面的三角形的面积√3?这是因为,
截面如果不垂直于底面,截面三角形的底固然小了,可是高却
增大了.二者的乘积可能比前者的大些.下面予以证明.
设截面三角形VAB,AB是底面圆的弦.设弦心距OC,则OC^2=OB^2-BC^2.
令BC=x,则有：OC^2=3-x^2.VC^2=VO^2+OC^2=1+3-x^2=4-x^2.
OC=√(3-x^2),VC=√(4-x^2).于是截面VAB的面积S=1/2*AB*VC
=1/2*2x*√(4-x^2)=√[x^2*(4-x^2)].
因0≤x≤√3,0≤x^2≤3,4-x^≥1＞0.由基本不等式得：
√[x^2*(4-x^2)]≤[(x^2+(4-x^2))/2=2.即S有最大值2,
当x^2=4-x^2,即x=√2时取得最大值.
所以,最大面积的截面不是轴截面.
为具一般性,设底面半径为r,高为h,则OC^2=r^2-x^2.
VC^2=VO^2+OC^2=h^2+r^2-x^2
于是截面VAB的面积S=1/2*AB*VC=1/2*2x*√(h^2+r^2-x^2)
=√[x^2*( h^2+r^2-x^2)]
≤[(x^2+( h^2+r^2-x^2))/2=( h^2+r^2)/2.
此时,x=√[（ h^2+r^2)/2.]
设圆锥的母线为l,则此时,S（max）=( h^2+r^2)/2=l^2/2,
可记为：母线平方的一半：
x=√[（ h^2+r^2)/2.]=√2/2*l,2x=√2l.
可记为：底是母线的√2倍.
由此可见,当底面直径恰好为母线的√2倍时,轴截面的面积就是最大的面积了.
那么,既然截面的底是母线的√2倍,这是一个什么样的三角形呢?正是一个直角等腰三角形.因此我们可以得到如下的结论：（1）当圆锥的轴截面三角形的顶角是钝角时,过顶点的最大面积的截面不是轴截面,而是截面三角形呈直角等腰三角形的那个截面的面积最大,这个最大面积是母线平方的一半：（2）当圆锥的轴截面三角形的顶角是直角或锐角时,过顶点的最大面积的截面就是轴截面.

最大的面积为什么不是轴截面的三角形的面积√3？这是因为，
截面如果不垂直于底面，截面三角形的底固然小了，可是高却
增大了。二者的乘积可能比前者的大些。下面予以证明。
设截面三角形VAB,AB是底面圆的弦。设弦心距OC,则OC^2=OB^2-BC^2.
令BC=x,则有：OC^2=3-x^2.VC^2=VO^2+OC^2=1+3-x^2=4-x^2.

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最大的面积为什么不是轴截面的三角形的面积√3？这是因为，
截面如果不垂直于底面，截面三角形的底固然小了，可是高却
增大了。二者的乘积可能比前者的大些。下面予以证明。
设截面三角形VAB,AB是底面圆的弦。设弦心距OC,则OC^2=OB^2-BC^2.
令BC=x,则有：OC^2=3-x^2.VC^2=VO^2+OC^2=1+3-x^2=4-x^2.
OC=√(3-x^2),VC=√(4-x^2).于是截面VAB的面积S=1/2*AB*VC
=1/2*2x*√(4-x^2)=√[x^2*(4-x^2)].
因0≤x≤√3,0≤x^2≤3,4-x^≥1＞0. 由基本不等式得：
√[x^2*(4-x^2)]≤[(x^2+(4-x^2))/2=2.即S有最大值2，
当x^2=4-x^2，即x=√2时取得最大值。
所以，最大面积的截面不是轴截面。
为具一般性，设底面半径为r,高为h,则OC^2=r^2-x^2.
VC^2=VO^2+OC^2=h^2+r^2-x^2
于是截面VAB的面积S=1/2*AB*VC=1/2*2x*√(h^2+r^2-x^2)
=√[x^2*( h^2+r^2-x^2)]
≤[(x^2+( h^2+r^2-x^2))/2=( h^2+r^2)/2.
此时，x=√[（ h^2+r^2)/2.]
设圆锥的母线为l,则此时，S（max）=( h^2+r^2)/2=l^2/2,
可记为：母线平方的一半：
x=√[（ h^2+r^2)/2.]=√2/2*l,2x=√2l.
可记为：底是母线的√2倍。
由此可见，当底面直径恰好为母线的√2倍时，轴截面的面积就是最大的面积了。
那么，既然截面的底是母线的√2倍，这是一个什么样的三角形呢？正是一个直角等腰三角形。因此我们可以得到如下的结论：（1）当圆锥的轴截面三角形的顶角是钝角时，过顶点的最大面积的截面不是轴截面，而是截面三角形呈直角等腰三角形的那个截面的面积最大，这个最大面积是母线平方的一半：（2）当圆锥的轴截面三角形的顶角是直角或锐角时，过顶点的最大面积的截面就是轴截面。jy

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