一道中学数学题已知已知三角形的三个边分别为a,b,c.p=(a＋b＋c) ／2,若 三角形的面积为s,求证:s= p(p-a)(p-b)(p-c)的开平方
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 15:49:55
一道中学数学题已知已知三角形的三个边分别为a,b,c.p=(a＋b＋c) ／2,若 三角形的面积为s,求证:s= p(p-a)(p-b)(p-c)的开平方
一道中学数学题
已知已知三角形的三个边分别为a,b,c.p=(a＋b＋c) ／2,若 三角形的面积为s,求证:s= p(p-a)(p-b)(p-c)的开平方
一道中学数学题已知已知三角形的三个边分别为a,b,c.p=(a＋b＋c) ／2,若 三角形的面积为s,求证:s= p(p-a)(p-b)(p-c)的开平方
用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
海伦公式啊……
想到很烦的证明方法，s=二分之一absinC，sinC用cosC来求，cosC用余弦定理来求。再把题中提供的公式的p用abc来代，算出来看一不一样（肯定一样啊……）
想想这个过程我就晕了……