证明:若f[f(x)]存在唯一不动点,则f(x)也存在唯一不动点不动点的定义:设函数f(x)在R上定义,把满足f(x0)=x0的点x0称为f(x)的不动点
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/28 14:06:59
证明:若f[f(x)]存在唯一不动点,则f(x)也存在唯一不动点不动点的定义:设函数f(x)在R上定义,把满足f(x0)=x0的点x0称为f(x)的不动点
证明:若f[f(x)]存在唯一不动点,则f(x)也存在唯一不动点
不动点的定义:设函数f(x)在R上定义,把满足f(x0)=x0的点x0称为f(x)的不动点
证明:若f[f(x)]存在唯一不动点,则f(x)也存在唯一不动点不动点的定义:设函数f(x)在R上定义,把满足f(x0)=x0的点x0称为f(x)的不动点
设 a 是 f(f(x)) 的唯一不动点,f(f(a))=a.设f(a)=b,则f(b)=f(f(a))=a,f(f(b))=f(a)=b
所以b也是f(f(x))的不动点.由唯一性,得到b=a,所以f(a)=a,从而a是f(x)的不动点.
如果f有其它的不动点c,则c也是f(f(x))的不动点,由唯一性得c=a,所以a是f(x)的唯一不动点.
设x0为f[f(x)]的不动点,则有f[f(x0)]=x0,若f(x)不存在不动点则 有f(x)恒大于x或 f(x)恒小于x两种情况则
当f(x)恒大于x时
f(x0)>x0,,f[f(x0)]>f(x0) 所以f[f(x0)]>x0,即x0非f[f(x)]的不动点。
同理 f(x)恒小于x时f[f(x)]x0非f[f(x)]的不动点。
以上两种假设情况均与f[f...
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设x0为f[f(x)]的不动点,则有f[f(x0)]=x0,若f(x)不存在不动点则 有f(x)恒大于x或 f(x)恒小于x两种情况则
当f(x)恒大于x时
f(x0)>x0,,f[f(x0)]>f(x0) 所以f[f(x0)]>x0,即x0非f[f(x)]的不动点。
同理 f(x)恒小于x时f[f(x)]x0非f[f(x)]的不动点。
以上两种假设情况均与f[f(x)]存在唯一不动点不符,则说明f(x)存在不动点。
若f(x)存在N个不动动点N≥2时则设x1,x2,。。。xN为其不动点其中x1,x2,。。。xN互不相等。
则有f(x1)=x1,f[f(x1)]=f(x1)=x1
f(x2)=x2,f[f(x2)]=f(x2)=x2
。
。
f(xN)=xN,f[f(xN)]=f(xN)=xN
所以x1,x2,。。。xN亦为f[f(x)]的不动点则f[f(x)]至少有N个不动点与f[f(x)]存在唯一不动点不符
所以N小于2
由上可知:若f[f(x)]存在唯一不动点,则f(x)也存在唯一不动点
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