已知 A,B,C 是三角形的三个内角且满足 2SinB=SinA+SinC 求证 2Cos (A+B)/2 =Cos (A-C)/2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 10:20:35
已知 A,B,C 是三角形的三个内角且满足 2SinB=SinA+SinC 求证 2Cos (A+B)/2 =Cos (A-C)/2
已知 A,B,C 是三角形的三个内角且满足 2SinB=SinA+SinC
求证 2Cos (A+B)/2 =Cos (A-C)/2
已知 A,B,C 是三角形的三个内角且满足 2SinB=SinA+SinC 求证 2Cos (A+B)/2 =Cos (A-C)/2
楼主,题打错了,应该是：2cos[(A+C)/2]=cos[(A-C)/2].
利用和差化积公式：
sinA+sinC=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2].
又因为A+B+C=π,(A+C)/2=(π-B)/2.
由诱导公式：sin[(π-B)/2]=cos(B/2).
又由二倍角公式：sinB=2sin(B/2)cos(B/2).
所以4sin(B/2)cos(B/2)=2cos(B/2)cos[(A-C)/2].
2sin(B/2)=cos[(A-C)/2].
再用诱导公式：2sin(B/2)=cos[(π-B)/2]=cos[(A+C)/2].
综上：2cos[(A+C)/2]=cos[(A-C)/2].
附全部和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2].
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2].
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2].
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2].
由已知得，A+B+C=π。所以，2SinB=2Sin（π-A-C）
=2Sin（A+C）
=4Sin[(A+B)/2]*Cos[(A+B)/2]
又有SinA+SinC=2Sin[（A+C)/2]*Cos [(A-C)/2]
于是，由2SinB=S...
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由已知得，A+B+C=π。所以，2SinB=2Sin（π-A-C）
=2Sin（A+C）
=4Sin[(A+B)/2]*Cos[(A+B)/2]
又有SinA+SinC=2Sin[（A+C)/2]*Cos [(A-C)/2]
于是，由2SinB=SinA+SinC得到，
4Sin[(A+B)/2]*Cos[(A+B)/2]=2Sin[（A+C)/2]*Cos [(A-C)/2]
从而得到，2Cos[(A+B)/2 ]=Cos[(A-C)/2 ]
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1楼月饼的回答正确。
2楼zcp在2SinB=2Sin(π-A-C)=2Sin(A+C)=4Sin[(A+B)/2]*Cos[(A+B)/2]一步中打错了或是故意在凑答案。
由A+B+C=π只能得到Sin(A+C)=SinB=2Sin(B/2)*Cos(B/2)
他没有理由使Sin(A+C)=Sin(A+B)，题目中并没有这样的条件。
下文的
“由4Sin[...
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1楼月饼的回答正确。
2楼zcp在2SinB=2Sin(π-A-C)=2Sin(A+C)=4Sin[(A+B)/2]*Cos[(A+B)/2]一步中打错了或是故意在凑答案。
由A+B+C=π只能得到Sin(A+C)=SinB=2Sin(B/2)*Cos(B/2)
他没有理由使Sin(A+C)=Sin(A+B)，题目中并没有这样的条件。
下文的
“由4Sin[(A+B)/2]*Cos[(A+B)/2]=2Sin[(A+C)/2]*Cos[(A-C)/2]
从而得到，2Cos[(A+B)/2]=Cos[(A-C)/2]”中
同样有Sin[(A+B)/2]=Sin[(A+C)/2]的错误。
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