若函数f(x)=(1+cosx)^10+(1-cosx)^10,x∈[0,π],则其最大值等于?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 14:21:50
若函数f(x)=(1+cosx)^10+(1-cosx)^10,x∈[0,π],则其最大值等于?
若函数f(x)=(1+cosx)^10+(1-cosx)^10,x∈[0,π],则其最大值等于?
若函数f(x)=(1+cosx)^10+(1-cosx)^10,x∈[0,π],则其最大值等于?
f(x)=1+10cosx+45cos²x+……+10cos^9 x+cos^10 x+1-10cosx+45cos²x-……-10cos^9 x+cos^10 x
=1+45cos²x+……+45cos^8 x+cos^10 x
所以显然cos²x=1时最大=C10(0)+C10(2)+C10(4)+C10(6)+C10(8)+C10(10)
=2[C10(0)+C10(2)+C10(4)]
=512
答：
拆开有f(x)=1+C1(10)cosx+C2(10)(cosx)^2+...+C10(10)(cosx)^10+1-C1(10)cosx+C2(10)(cosx)^2+...+C10(10)(cosx)^10
=2*(1+C2(10)(cosx)^2+C4(10)(cosx)^4+...+C10(10)(cosx)^10)
当x=0或π时，(cosx)^2=(cosx)^4=...=(cosx)^10=1
所以f(0)=f(π)=2*(1+C2(10)+C4(10)+C6(10)+C8(10)+C10(10))=1024
按cosx的升幂排列
(1+cosx)^10=1+C1(10)cosx+C2(10)(cosx)^2+...+C10(10)(cosx)^10
(1-cosx)^10=1-C1(10)cosx+C2(10)(cosx)^2-...+C10(10)(cosx)^10
两者相加时，cosx的奇数次幂抵消，偶数次幂系数相同
f(x)=2[1+C2(10)(cosx)^2+...
全部展开
按cosx的升幂排列
(1+cosx)^10=1+C1(10)cosx+C2(10)(cosx)^2+...+C10(10)(cosx)^10
(1-cosx)^10=1-C1(10)cosx+C2(10)(cosx)^2-...+C10(10)(cosx)^10
两者相加时，cosx的奇数次幂抵消，偶数次幂系数相同
f(x)=2[1+C2(10)(cosx)^2+C4(10)(cosx)^4+C6(10)(cosx)^6+C8(10)(cosx)^8
+C10(10)(cosx)^10]
在[0,π]上，cosx偶数次幂的最大值为1
所以f(x)最大值为：2[1+C2(10)+C4(10)+C6(10)+C8(10)+C10(10)] (1)
又C6(10)=C4(10), C8(10)=C2(10), C10(10)=1
所以（1）式=4〔1+C2(10)+C4(10）〕
=4〔1 + 10*9/2 + 10*9*8*7/4*3*2〕
=1024
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