已知tanα,tanβ是关于x的方程x²-5mx-4=0的两个实数根（m∈R）,且α+β≠kπ+π/2（k∈Z）,求sin²（α+β）+1/2 msin(2α+2β)的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 01:32:45
已知tanα,tanβ是关于x的方程x²-5mx-4=0的两个实数根（m∈R）,且α+β≠kπ+π/2（k∈Z）,求sin²（α+β）+1/2 msin(2α+2β)的取值范围
已知tanα,tanβ是关于x的方程x²-5mx-4=0的两个实数根（m∈R）,且α+β≠kπ+π/2（k∈Z）,
求sin²（α+β）+1/2 msin(2α+2β)的取值范围
已知tanα,tanβ是关于x的方程x²-5mx-4=0的两个实数根（m∈R）,且α+β≠kπ+π/2（k∈Z）,求sin²（α+β）+1/2 msin(2α+2β)的取值范围
tanα+tanβ=5m,
tanαtanβ=-4,
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/[1-tanαtanβ]=5m/5=m,
sin²（α+β）+1/2 msin(2α+2β)=sin（α+β）[sin（α+β）+cos（α+β）*m]
=sin（α+β）[sin（α+β）+cos（α+β）*sin（α+β）/cos（α+β）]
=2sin²（α+β）
=1-cos[2（α+β）]
2（α+β）=2kπ时,最小1－1＝0,
2（α+β）=2kπ＋π时,最大1-(-1)=2,而α+β≠kπ+π/2,应取开区间,没有最大值,
取值范围为[0,2）.
根据题意有：
tana+tanb=5m
tanatanb=-4.
因为：
tan(a+b)
=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
=5m/5=m.
所以：
tan^2(a+b)=sin^2(a+b)/cos^2(a+b)=m^2,即：
sin^2(a+b)=m^2(1-sin^2(a+b))
所以:sin...
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根据题意有：
tana+tanb=5m
tanatanb=-4.
因为：
tan(a+b)
=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
=5m/5=m.
所以：
tan^2(a+b)=sin^2(a+b)/cos^2(a+b)=m^2,即：
sin^2(a+b)=m^2(1-sin^2(a+b))
所以:sin^2(a+b)=m^2/(1+m^2).
利用万能公式有：
sin(2a+2b)=sin2(a+b)=2tan(a+b)/(1+tan^2(a+b))=2m/(1+m^2)
所以：
f=sin²（α+β）+1/2 msin(2α+2β)
=m^2/(1+m^2)+m^2/(1+m^2)
=2m^2/(1+m^2)
所以fmin=0,fmax=2,即取值范围为[0,2].
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