一道高中数论题设f(x)是X的整系数多项式 /f(x)/=17 有5个互不相等的整数解求证:方程f(x)=0没有整数根

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 23:58:20
一道高中数论题设f(x)是X的整系数多项式/f(x)/=17有5个互不相等的整数解求证:方程f(x)=0没有整数根一道高中数论题设f(x)是X的整系数多项式/f(x)/=17有5个互不相等的整数解求证

一道高中数论题设f(x)是X的整系数多项式 /f(x)/=17 有5个互不相等的整数解求证:方程f(x)=0没有整数根
一道高中数论题
设f(x)是X的整系数多项式 /f(x)/=17 有5个互不相等的整数解求证:方程f(x)=0没有整数根

一道高中数论题设f(x)是X的整系数多项式 /f(x)/=17 有5个互不相等的整数解求证:方程f(x)=0没有整数根
证:
先证明一个引理:对于x的整系数多项式f(x)以及不同的两个整数a,b,有a-b|f(a)-f(b)
f(a)-f(b)的常数项为0
设f(x)中含有p·x^j这一项,其中j≥1,由a-b|a^j-b^j可得,a-b|pa^j-pb^j
即a-b整除f(a)-f(b)中每一组同次对应项的差,于是引理得证
回到原题
设f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=±17,其中a,b,c,d,e为互不相同的整数
设f(x)=0,显然x≠a,b,c,d,e,我们只需证明x不为整数
假设x为整数
则x-a,x-b,x-c,x-d,x-e为互不相同的整数
由引理,有x-a|f(x)-f(a),x-b|f(x)-f(b),…,x-e|f(x)-f(e)
所以x-a| |f(x)-f(a)|,x-b| |f(x)-f(b)|,…,x-e| |f(x)-f(e)|
而|f(x)-f(a)|=|f(x)-f(b)|=…=|f(x)-f(e)|=17
所以x-a,x-b,x-c,x-d,x-e都为17的约数
但17只有4个约数,即±1,±17
所以x-a,x-b,x-c,x-d,x-e不可能互不相同,矛盾
故原假设错误,即x不为整数
证毕

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