设ΔABC的周长为定值,求三角形的内切圆面积的最大值,并说明这时ΔABC是怎样的三角形?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 19:06:51
设ΔABC的周长为定值,求三角形的内切圆面积的最大值,并说明这时ΔABC是怎样的三角形?
设ΔABC的周长为定值,求三角形的内切圆面积的最大值,并说明这时ΔABC是怎样的三角形?
设ΔABC的周长为定值,求三角形的内切圆面积的最大值,并说明这时ΔABC是怎样的三角形?
设△ABC,其中AB=c,AC=b,BC=a,a+b+c=2p(定值).
△ABC的内切圆圆心0是三条角平分线的交点,S△ABO=rc/2,S△ACO=rb/2,S△BCO=ra/2,S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO=r(a+b+c)/2=rp；根据海伦公式,S²△ABC=p(p-a)(p-b)(p-c),所以有r²p²=p(p-a)(p-b)(p-c),r²=(p-a)(p-b)(p-c)/p.
∵(p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-2p=p(定值)；可以证明三个数和一定的时候,只有当它们分别相等的时候积最大.也就是说当r取最大值的时候存在p-a=p-b=p-c,即a=b=c=2p/3,此时△ABC是等边三角形：r²max=p²/27.内切圆面积S=πr²=πp²/27.【楼上tongfaming1984同学写的πL²/108也是对的,当L=2p时,代入可计算πp²/27=πL²/108!】
★另,关于三个正数x、y、z,x+y+z=C(定值)时,xyz=xy(C-x-y)=Cxy-x²y-xy²,可以将x看成主元,则xyz=-yx²-(y²-Cy)x是一个开口向下的抛物线,函数在对称轴上取得最大值,对称轴x=-b/2a=(Cy-y²)/2y=C/2-y/2；最大值M=(4ac-b²)/4a=(y²-Cy)²/4y,M的导函数M’=3y²/4-Cy+C²/4=0,分解因式有(y-C)(3y-C)=0；可解得y1=C(此时xyz=0,M取得最小值),y2=C/3(此时xyz=C³/27,M取最大值).所以,当y=C/3时,M有最大值,此时,x=-b/2a=(Cy-y²)/2y=C/2-y/2=C/2-C/6=C/3,z=C-x-y=C-C/3-C/3=C/3,即x=y=z=C/3时,其乘积最大.
设ΔABC的周长为定值L
当三角形为正三角形时
三角形内切圆面积达到最大
此时圆的半径为√3L/18
面积为πL^2/108