如图（1）,在直角△ABC中,∠ACB=90 ,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系. (1)\x05如图（2）,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 05:38:56
如图（1）,在直角△ABC中,∠ACB=90 ,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系. (1)\x05如图（2）,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是
如图（1）,在直角△ABC中,∠ACB=90 ,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).
试探究线段EF与EG的数量关系.
(1)\x05如图（2）,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是
证明:
(2)\x05 如图（3）,当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是
证明
(3)\x05如图（1）,当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是
（3）无需证明
如图（1）,在直角△ABC中,∠ACB=90 ,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系. (1)\x05如图（2）,当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是
连接DE,
∵AC=BC,CD⊥AB,
∴AD=BD,∠ACD=45°,
∴CD=AD=AB,
∵AE=EC,
∴DE=AE=EC=AC,
∴∠EDC=45°,DE⊥AC,
∵∠A=45°,
∴∠A=∠EDG,
∵EF⊥BE,
∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°,
∴∠AEF=∠DEG,
∴△AEF≌△DEG（ASA）,
∴EF=EG．
（1）EF=EG；
EF=EG．
证明：作EM⊥AB于点M,EN⊥CD于点N,
∵EM∥CD,
∴△AEM∽△ACD,
∴
即EM=CD,
同理可得,EN=AD,
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴tanA=,
∴=,
又∵EM⊥AB,EN⊥CD,
∴∠EMF=∠ENG=90°,
∵EF⊥BE,
∴∠FEM=∠GEN,
∴△EFM∽△EGN,
∴,
即EF=EG；
（3）
EF=EG