如图所示.GH、EF分别为正方形ABCD边上的平行线,相交与点P.且矩形AGPE为PFCH的一半.求∠FAH的度数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 09:14:55
如图所示.GH、EF分别为正方形ABCD边上的平行线,相交与点P.且矩形AGPE为PFCH的一半.求∠FAH的度数
如图所示.GH、EF分别为正方形ABCD边上的平行线,相交与点P.且矩形AGPE为PFCH的一半.求∠FAH的度数
如图所示.GH、EF分别为正方形ABCD边上的平行线,相交与点P.且矩形AGPE为PFCH的一半.求∠FAH的度数
答案是很容易获得的.让两个矩形面积都为零,比如H点移到D点,F点移到C点,此时∠FAH=45度.如果是选择填空的话就做完了；但就算是大题,心中也至少能有个数.
设正方形边长为1,AE=x,AG=y,则CF=DE=1-x,CH=BG=1-y；
根据题意：
(1-x)(1-y)=2xy
1-x-y+xy=2xy
1-x = xy+y
y = (1-x)/(1+x)
代入1-y,解得：
CH=BG=2x/(1+x)
把边的表达式算出来之后,下面开始证明.
连接AC,并过F点作FI垂直AC于I.
下面连续使用勾股定理：
AF^2 = AB^2 + BF^2 = 1 + x^2
显然三角形FIC是等腰直角三角形,FC = DE = 1-x,所以
FI^2 = FC^2 / 2 = (1-x)^2 / 2
AI^2 = AF^2 - FI^2 = (1+x)^2 / 2
AI^2 / FI^2 = (1+x)^2 / (1-x)^2
AI / FI = (1+x)/(1-x)
而AD/DH = 1 / DH = 1 / AG = 1/y = (1+x)/(1-x)
显然：∠D = ∠AEF = 90度
夹角相等,对应边成比例,所以三角形AFI相似于AHD
所以∠FAI = ∠HAD
因为∠BAF + ∠FAI = 45度
所以∠BAF + ∠HAD = 45度
所以∠FAH = 90度 - (∠BAF + ∠HAD) = 45度
75度
这题目少条件的吧，你想，如果E点位置不固定，那么F点在BC上移动，角FAH的大小明显要变化的 啊