M是圆C:x2+y2-6x-8y=0上的动点,O是坐标原点,N是射线OM上的点,|OM|·|ON|=120,求N点的轨迹方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 23:53:02
M是圆C:x2+y2-6x-8y=0上的动点,O是坐标原点,N是射线OM上的点,|OM|·|ON|=120,求N点的轨迹方程.
M是圆C:x2+y2-6x-8y=0上的动点,O是坐标原点,N是射线OM上的点,|OM|·|ON|=120,求N点的轨迹方程.
M是圆C:x2+y2-6x-8y=0上的动点,O是坐标原点,N是射线OM上的点,|OM|·|ON|=120,求N点的轨迹方程.
圆C可写成:(x-3)*(x-3)+(y-4)*(y-4)=5*5
则圆过原点
|OM|·|ON|=120 所以|ON|=120/|OM|
因为O,M,N在同一射线上
设OM(x1,y1) ON(x2,y2) OM*OM=x1*x1+x2*x2
所以OM/ON=x1/x2=y1/y2
整理得 (1*x1+x2*x2)/120=x1/x2=y1/y2
由(1*x1+x2*x2)/120=x1/x2
得x2=120x1/(1*x1+x2*x2) ……①
由(1*x1+x2*x2)/120=y1/y2
得y2=120y1/(1*x1+x2*x2) ……②
由x1/x2=y1/y2得
x1=x2y1/y2 ……③
y1=x1y2/x2 ……④
由①④得
x1=120/(x2+y2*y2/x2)
由②③得
y1=120/(y2+x2*x2/y2)
最后将x1,y1带入原方程x2+y2-6x-8y=0中
便可得出答案（太长了）
先画图，延长OP（P为圆心）与圆交于Q，再延长至R使|OQ|·|OR|=120. 求得R(18/5，,24/5)
过R且与OR垂直的直线l即为所求
因为直线OP为4x-3y=0,所以可求与之垂直的直线
证法：
对圆上任意动点M，N如题。
|OM|·|ON|=120=|OQ|·|OR|，所以三角形ORN相似于三角形OMQ
所以角ORN=角OMQ...
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先画图，延长OP（P为圆心）与圆交于Q，再延长至R使|OQ|·|OR|=120. 求得R(18/5，,24/5)
过R且与OR垂直的直线l即为所求
因为直线OP为4x-3y=0,所以可求与之垂直的直线
证法：
对圆上任意动点M，N如题。
|OM|·|ON|=120=|OQ|·|OR|，所以三角形ORN相似于三角形OMQ
所以角ORN=角OMQ=90度，则N在l上。
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