设函数y=f(x)由方程ln(x^2+y)=x^3 y+sinx确定,求dy/dx (x=0)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 14:20:12
设函数y=f(x)由方程ln(x^2+y)=x^3 y+sinx确定,求dy/dx (x=0)
设函数y=f(x)由方程ln(x^2+y)=x^3 y+sinx确定,求dy/dx (x=0)
设函数y=f(x)由方程ln(x^2+y)=x^3 y+sinx确定,求dy/dx (x=0)
两边都对x求导有（2x+dy/dx)/(xˆ2+y)=3xˆ2y+xˆ3dy/dx+cosx
得dy/dx=(3xˆ4y+3xˆ2yˆ2+xˆ2cosx+ycosx-2x)/(1-xˆ5-xˆ3y）
把x=0代入ln(x^2+y)=x^3 y+sinx中,lny=0,y=1,所以：
dy/dx (x=0)=1/1=1,解这样的题目一点要记住结果是一个常数.楼上的同学一定要记住不能犯这样的错误
两边都对x求导有（2x+dy/dx)/(xˆ2+y)=3xˆ2y+xˆ3dy/dx+cosx
得dy/dx=(3xˆ4y+3xˆ2yˆ2+xˆ2cosx+ycosx-2x)/(1-xˆ5-xˆ3y)
对方程令x=0有y=eˆsinx
代入得dy/dx(x=0)=(3xˆ4eˆsinx+3xˆ2eˆ2sinx+xˆ2cosx+cosxeˆsinx-2x)/(1-xˆ5-x3eˆsinx)
f(x)=ln(x)的导数：f'=1/x，f(x)=sin(x)的导数：f'=cos(x)，
这是复合函数求导，因此先把问题按照自变量x的形式写出来，其中y=f(x)是一个函数，只不过表达式不知道而已，因此：
原式ln(x^2+y(x))=x^3*y(x)+sin(x)，
两边对x求导得到：
（2x+dy/dx)/(x^2+y(x))=3x^2*y(x)+x^3*d...
全部展开
f(x)=ln(x)的导数：f'=1/x，f(x)=sin(x)的导数：f'=cos(x)，
这是复合函数求导，因此先把问题按照自变量x的形式写出来，其中y=f(x)是一个函数，只不过表达式不知道而已，因此：
原式ln(x^2+y(x))=x^3*y(x)+sin(x)，
两边对x求导得到：
（2x+dy/dx)/(x^2+y(x))=3x^2*y(x)+x^3*dy/dx+cos(x)，上式记为（**********）式，
化简得到
dy/dx=(3x?4y+3x?2y?2+x?2cosx+ycosx-2x)/(1-x?5-x?3y）
最后代入x=0:得到dy/dx(x=0)=1；
还有一种做法：就是：（**********）式中dy/dx 是自变量x的函数，因此将x=0直接代入（**********）式得到：
dy/dx/(y(x=0))=cos(x=0)=1，
所以：dy/dx=y(x=0)；
而将x=0代入原式得：ln(y(x=0))=0，解得：
y(x=0)=1;
所以：dy/dx=y(x=0)；
前一种做法如果表达式复杂，则将dy/dx解出来就会很困难,第二种做法优势就体现出来了，当然也要看题目要求和个人的喜好了！加油吧！
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