有一个小于2000的四位数,它恰有14个正约数(包括1和本身),其中有一个质因数的末位数字是1,求这个四位数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 22:25:30
有一个小于2000的四位数,它恰有14个正约数(包括1和本身),其中有一个质因数的末位数字是1,求这个四位数
有一个小于2000的四位数,它恰有14个正约数(包括1和本身),其中有一个质因数的末位数字是1,求这个四位数
有一个小于2000的四位数,它恰有14个正约数(包括1和本身),其中有一个质因数的末位数字是1,求这个四位数
14个正约数(包括1和本身),根据约数个数公式
14 = 2×7 = （1+1）×（6+1）
这个数是形如M×N^6的数.
易知2^6 = 64、3^6 = 729、4^6 = 4096.
则这个数里,出现6次的素因数N只可能为2或3.
当N = 2时,M是个位为1的素数.
1000/64 ≤M＜ 2000/64
即
16 ＜ M＜ 31.25
因此M只可能为31.
这个四位数是64×31 = 1984
当N = 3时,
1000/729 ≤M＜ 2000/729
在此范围内不存在个位为1的素数.
综上,这个四位数是1984
约数个数14=2*7=1*14，所以这个四位数分解成质因数的积=x^6*y(不可能是x^13,因为2^13>2000)。x不可能是末位为1的质因数(因为末位为1的最小质因数11都使得11^6>2000了),x只能是2（因为质因数3使得3^6=729,y取末位为1的最小质因数11，也使3^6*11=8019>2000了）。取y=11则2^6*11=704是三位数，y=31则2^6*31=1984正好...
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约数个数14=2*7=1*14，所以这个四位数分解成质因数的积=x^6*y(不可能是x^13,因为2^13>2000)。x不可能是末位为1的质因数(因为末位为1的最小质因数11都使得11^6>2000了),x只能是2（因为质因数3使得3^6=729,y取末位为1的最小质因数11，也使3^6*11=8019>2000了）。取y=11则2^6*11=704是三位数，y=31则2^6*31=1984正好是小于2000的四位数。而y=41则2^6*41=2624>2000，所以这个四位数只能是1984
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设这个数是N.
因为N恰有14个正约数，所以
N=p*q^6(p，q为质数）
由于p>=2，所以 由1000
所以 p=31，N=1984
2）q=3。则p=N/729，个位为1的质数最小的是11，但11*729>1000。
综上，所求的四位数是 1984。...
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设这个数是N.
因为N恰有14个正约数，所以
N=p*q^6(p，q为质数）
由于p>=2，所以 由1000
所以 p=31，N=1984
2）q=3。则p=N/729，个位为1的质数最小的是11，但11*729>1000。
综上，所求的四位数是 1984。
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